4631 מספר אישור: 31.12.25 אושר בתאריך: תכנון ליניארי, גיאומטריה במרחב, ראייה מרחבית מבחני מתכונת יח״ל 3 רמת
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2025 © 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-73 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-91-8 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 4631 מספר אישור: 31.12.25 אושר בתאריך: תכנון ליניארי, גיאומטריה במרחב, ראייה מרחבית מבחני מתכונת יח״ל 3 רמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה יח"ל. 3 הספר "מתמטיקה לכיתה י״ב – חלק ב' ״ מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת ספר זה הוא השני מתוך שני ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחום המדעים וחברה ומתחום הפיננסי כלכלי. הספר מכיל את הנושאים הבאים: תכנון ליניארי, גיאומטריה במרחב, ראייה מרחבית ומבחני מתכונת. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגיאומטרית ועוד. ?מה מיוחד בספר • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • יחידות לימוד. 3 בסוף הספר מצורף נוסחאון מתמטיקה - מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו, רתם פרוידנברג וצילה פרידמן, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. באתרנו, ובקובץ הדיגיטלי של הספר. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע, הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1............................................................................................................................ חלק ב' - פתיח 2............................................................................................. יחידה ראשונה – תכנון ליניארי פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר ניצב לציר . א 3 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הפתרון הגרפי . ב 8 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� סימון הפתרון הגרפי פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר משופע . א 14 ��������������������������������������������������� זיהוי וסימון של הפתרון הגרפי כאשר הישר המשופע מסורטט . ב 20 ��������������������������������������������������������������������������� סרטוט הישר המשופע וסימון הפתרון הגרפי מערכת אי-שוויונות ליניאריים והתחום המתאים לה . א 23 ������������������������������������������������������������ סרטוט תחום המתאים למערכת אי-שוויונות ליניאריים . ב 30 ��������������������������������������������������� רישום מערכת אי-שוויונות ליניאריים המתאימה לתחום נתון 35 מערכת אילוצים ופונקציית מטרה........................................................................................................ 47 מציאת הקדקודים של תחום אפשרי..................................................................................................... מציאת הערך המקסימלי/המינימלי של פונקציית מטרה . א 58 ���������������������������������������������������������� ערך מקסימלי/מינימלי המתקבל בקדקוד של תחום סגור . ב 63 ����������������������������������������������������������������������� ערך מינימלי המתקבל בקדקוד של תחום פתוח . ג 67 �������������������������������������������������� ערך מקסימלי/מינימלי המתקבל לאורך צלע של תחום אפשרי 72 תרגול משולב................................................................................................................................... 81 בדיקת ניצול משאבים....................................................................................................................... שינוי בפונקציית המטרה או באילוץ . א 87 ������������������������������������������������������������������������������������������������������� שינוי בפונקציית המטרה . ב 93 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� שינוי באילוץ 99 שאלות הכוללות פרמטר..................................................................................................................... 106 תרגול נוסף...................................................................................................................................... 116 תשובות .......................................................................................................................................... 129................................................................................... יחידה שנייה – גיאומטריה במרחב 131 משמעות הנפח, שטח המעטפת ושטח הפנים ........................................................................................ 133 תיבה (כולל קובייה).......................................................................................................................... 149 מנסרה ישרה שבסיסה משולש.......................................................................................................... 163 גליל ישר.........................................................................................................................................
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 174........................... חרוט ישר ............................................................................................................ 185................... כדור ........................................................................................................................... פירמידה . א 192 פירמידה ישרה.................................................................................................................... . ב 206 פירמידה לא ישרה .............................................................................................................. 211 תרגול משולב .................................................................................................................................. 214 שינוי בממד אחד או יותר ................................................................................................................. 221 השוואה וקבלת החלטות .................................................................................................................. 228 תרגול מסכם ................................................................................................................................... 232 תשובות ......................................................................................................................................... 239...................................................................................... יחידה שלישית – ראייה מרחבית תרשים מבטים . א 241 מעבר ממבנה של קוביות לתרשים מבטים ............................................................................. . ב 245 מעבר מתרשים מבטים למבנה של קוביות ............................................................................. 249 קביעת מספר הקוביות הלא מוסתרות והמוסתרות במבנה..................................................................... 254 זיהוי גוף תלת-ממדי מנקודות מבט שונות .......................................................................................... תרשים מספרי . א 258 מעבר מתרשים מספרי למבנה מקוביות................................................................................. . ב 261 מעבר ממבנה מקוביות לזיהוי וסרטוט של תרשים מבטים ותרשים מספרי.................................. . ג 267 מעבר מתרשים מספרי לזיהוי וסרטוט של תרשים מבטים ......................................................... 271 התאמת תרשימים למבנה מקוביות ................................................................................................... 277 תרגול מסכם ................................................................................................................................... 285 תשובות ......................................................................................................................................... 290........................................................................................................................ מבחני מתכונת 360 תשובות ......................................................................................................................................... 372 מיון השאלות במתכונות לפי הנושאים ............................................................................................... נספח 373 יחידות לימוד ................................................................................................ 3 נוסחאון מתמטיקה -
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חלק ב' – פתיח • בספר זה יידרש שימוש במיומנויות, שנרכשו בחטיבת הביניים ובכיתות י' ו-י"א, והן: 4 פתרון משוואות ומערכות משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. 4 קריאה וסימון של נקודות במערכת צירים. 4 מערכת צירים, שיעורי נקודות וסימון נקודות במערכת צירים. 4 משוואת הקו הישר. 4 תכונות משולשים, מרובעים (כולל חישוב שטח והיקף). 4 שטח עיגול והיקף מעגל. • יחידות: 3 חלק ב' של הספר מכיל 4 יחידה ראשונה: למידת הנושא תכנון ליניארי. ביחידה זו נלמד לזהות משתנים רלוונטים בסיפור האורייני הכלכלי/הפיננסי, לתרגם את מערכת האילוצים למערכת אי-שוויונות שתוצג בדרך גרפית. נשתמש בהצגה הגרפית ובטכניקה אלגברית פשוטה על מנת למצוא את הפתרון האופטימלי לבעיה. 4 יחידה שנייה: למידת הנושא גיאומטריה במרחב. ביחידה זו נלמד על התכונות של הגופים במרחב. נכיר את הנוסחאות לחישוב נפח, שטח מעטפת ושטח פנים של הגופים: תיבה (כולל קובייה), מנסרה ישרה שבסיסה משולש, גליל ישר, חרוט ישר, כדור, פירמידה ישרה (שבסיסה מלבן – כולל ריבוע, משולש) ופירמידה לא ישרה, שאחד מהמקצועות הצדדיים שלה מאונך לבסיס. 4 יחידה שלישית: למידת הנושא ראייה מרחבית. ביחידה זו נלמד להסתכל על גוף תלת-ממדי נתון מנקודות מבט שונות. נקבע כיצד יכול להיראות גוף תלת-ממדי, הבנוי מקוביות, על סמך תרשים מבטים ועל סמך תרשים מספרי.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה תכנון ליניארי ביחידה זו נלמד על ענף במתמטיקה שימושית, שפותח בשנות הארבעים של המאה העשרים. מטרת ענף מתמטי לבעיות מורכבות בתחומים שונים, כגון: כלכלה, ניהול, תעשייה, חקלאות, תזונה פתרון אופטימליזה היא למצוא וכדומה. ביחידה זו יושם דגש בהיבט הכלכלי. במציאות הבעיות מכילות לרוב מספר גדול של משתנים, ונהוג לפתור אותן באמצעות מחשבים, אך הבעיות שיוצגו ביחידה זו יכילו שני משתנים, וכך ניתן לענות עליהן באמצעות שיטות גרפיות פשוטות. ביחידה זו נלמד לזהות משתנים רלוונטיים בסיפור האורייני כלכלי/פיננסי (או בסיפור אורייני בתחום אחר), לתרגם את מערכת האילוצים למערכת אי-שוויונות, להציג את מערכת אי-השוויונות בדרך גרפית, ולהשתמש בהצגה הגרפית ובטכניקה אלגברית פשוטה על מנת למצוא את הפתרון האופטימלי לבעיה. ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: 4 קריאה וסימון של נקודות במערכת צירים. 4 משוואת ישר – משמעות המקדמים, סרטוט במערכת צירים. 4 מציאת נקודת חיתוך של שני ישרים כפתרון מערכת משוואות ליניאריות. משימת פתיחה חקלאי מגדל כרוב וברוקולי. בשל מגבלות השטח, ההשקיה, זמן הגידול ומשאבים נוספים הוא יכול לגדל בכל עונה כמות מוגבלת מכל ירק. השטח הצבוע בסרטוט מתאר כמה דונמים יכול החקלאי לגדל מכל ירק לאור המגבלות. . א ?D ,C ,B ,A כמה דונמים של כרוב וכמה דונמים של ברוקולי יכול החקלאי לגדל לפי הנקודות . ב ציינו שיעורי נקודה, המתארת את הגידול של הכרוב בלבד. ציינו שיעורי נקודה, המתארת את הגידול של הברוקולי בלבד. . ג דונמים של ברוקולי? 20 דונמים של כרוב ו- 20 האם החקלאי יכול לגדל שקלים לדונם של ברוקולי. 1200 שקלים לדונם של כרוב ו- 800 החקלאי מרוויח . ד ?D ,C ,B ,A מה יהיה הרווח של החקלאי לפי הנקודות . ה רווח החקלאי יהיה הגדול ביותר? D ,C ,B ,A באיזו נקודה מבין הנקודות .116 התשובות למשימת הפתיחה – בעמ' y 25 20 35 10 15 30 5 10 30 35 15 5 20 25 מספר הדונמים של ברוקולי x מספר הדונמים של כרוב B C A D
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר ניצב לציר בפרק זה נתמקד בזיהוי ובסימון פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי כאשר הישר ניצב לאחד הצירים, כלומר: זיהוי וסימון של התחום, שעבורו מתקיים אי-השוויון במשתנה אחד. נתייחס גם למצבים אורייניים מחיי היום יום. מה נלמד? 4 זיהוי הפתרון הגרפי. 4 סימון הפתרון הגרפי. .117-116 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ׳ .א זיהוי הפתרון הגרפי הסבר ודוגמה פתורה - זיהוי הפתרון הגרפי דוגמה במוזיאון מסוים ניתנת הדרכה לקבוצות שבהן ילדים ומבוגרים. את מספר המבוגרים בקבוצה. y את מספר הילדים בקבוצה, וב- x נסמן ב- . א , המסומנות במערכת E ,D ,C ,B ,A מה מתארת כל אחת מהנקודות הצירים שלפניכם? ילדים. 20 בקבוצה המיועדת לסיור במוזיאון יכולים להיות לכל היותר . ב אילו מהנקודות המסומנות במערכת הצירים מתאימות למגבלה (1) לגבי מספר הילדים? ( 2) .x = 20 משוואת הישר המסורטט היא היכן ממוקמות הנקודות, המתאימות למגבלה לגבי מספר הילדים ביחס לישר המסורטט? נזכיר! מורכב משני אגפים של ביטויים אלגבריים, שביניהם מופיע אחד מהסימנים:אי-שוויון .≠ , ≥ , ≤ , > , < .x ≠ 2 , y > 5 , x ≤ 0 , y ≥ 3 , x < 1 למשל: y מספר המבוגרים x מספר הילדים B A D 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 E C
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג מהו התחום המסומן (הצבוע), המתאים למגבלה לגבי מספר הילדים? מבוגרים. 10 במוזיאון הוחלט שבקבוצה של הסיור יהיו לפחות . ד מהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר המבוגרים? פתרון: . א מבוגרים. 40 ילדים ו- 30 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך A(30 ,40) מבוגרים. 35 ילדים ו- 10 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך B(10 ,35) מבוגרים. 15 ילדים ו- 20 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך C(20 ,15) מבוגרים. 10 ילדים ו- 10 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך D(10 ,10) ילדים ואין בו מבוגרים. 20 – הנקודה מתארת מצב, שבו יש בסיור המודרך E(20 ,0) . ב ילדים. 20 ילדים, כלומר לא יותר מ- 20 המגבלה לגבי מספר הילדים היא לכל היותר (1) ילדים), תתאמנה למגבלה, כלומר 20 ילדים (כולל 20 לכן הנקודות שמתארות מצב, שבו יש עד .E ו- D , C , B הנקודות הן: ( 2) .x = 20 ועל הישר x = 20 הנקודות המתאימות למגבלה לגבי מספר הילדים נמצאות משמאל לישר . ג . הנקודות המתאימות למגבלה לגבי מספר הילדים נמצאות בתחום (2) התחום המתאים הוא תחום .בקו רציף שמסומן x = 20 , כולל הישר (2) המסומן בסרטוט )2( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )1( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )1( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )2( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )3( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40 )4( y x 25 45 20 35 10 40 15 30 5 10 30 15 35 5 45 20 25 40
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד .)4 התחום המתאים הוא ( מבוגרים. 10 מבוגרים, כלומר לא פחות מ- 10 המגבלה לגבי מספר המבוגרים היא לפחות , בתחום המסומן y = 10 ועל הישר y = 10 לכן הנקודות המתאימות למגבלה זו נמצאות מעל הישר .בקו רציף שמסומן y = 10 ), כולל הישר 4 בסרטוט ( הערה: ,y ≥ 0 וגם x ≥ 0 , כלומר בתחום שבו ברביע הראשוןהתחומים המסומנים במערכת הצירים מופיעים רק מכיוון שמספר הילדים וגם מספר המבוגרים לא יכול להיות שלילי. בתחום זה נתייחס רק לנקודות ששיעוריהן מספרים שלמים. . 1 בעלון פרסומי יש תמונות וכתבות. את מספר הכתבות שיש בו. y את מספר התמונות שיש בעלון, וב- x נסמן ב- y 5 4 7 2 3 6 1 2 6 7 3 1 4 5 מספר הכתבות x מספר התמונות B C A D E . א , המסומנות במערכת הצירים שלפניכם? E ,D ,C ,B ,A מה מתארת כל אחת מהנקודות תמונות כדי למנוע עומס ויזואלי. 5 בעלון הפרסומי מכניסים לכל היותר . ב ) אילו נקודות מתאימות למגבלה לגבי מספר התמונות בעלון? 1( ( 2) .x = 5 משוואת הישר המסורטט היא היכן ממוקמות הנקודות, המתאימות למגבלה לגבי מספר התמונות בעלון, ביחס לישר המסורטט? . ג מהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר התמונות בעלון? )1( y 5 4 7 2 3 6 1 2 6 7 3 1 4 5 x )2( y 5 4 7 2 3 6 1 2 6 7 3 1 4 5 x
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 2 שומן. 1% שומן ו- 3% על מדף בסופרמרקט מונחים קרטוני חלב, שבהם שומן, 1% את מספר קרטוני החלב שבהם x נסמן ב- שומן. 3% את מספר קרטוני החלב שבהם y וב- B C E D A 5 10 15 4 9 14 16 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x מספר קרטוני שומן 3% החלב מספר קרטוני שומן 1% החלב . א , המסומנות במערכת הצירים שלפניכם? E ,D ,C ,B ,A מה מתארת כל אחת מהנקודות קרטוני חלב שבהם 10 בשל הביקוש המוגבר מקפידים העובדים שיהיו על המדף בסופרמרקט לפחות שומן. 3% . ב שומן? 3% ) אילו נקודות מתאימות למגבלה לגבי מספר קרטוני החלב שבהם 1( ( 2) איזו משוואה מתארת את הישר המסורטט? y = 10x .III y = 10 .II x = 10 .I ( 3) שומן, 3% היכן ממוקמות הנקודות, המתאימות למגבלה לגבי מספר קרטוני החלב שבהם ביחס לישר המסורטט? . ג שומן? 3% מהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר קרטוני החלב שבהם )1( 5 10 15 4 9 14 16 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x )2( 5 10 15 4 9 14 16 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 3 בקטע של כביש מסוים נוסעות משאיות ומכוניות פרטיות. את מספר המשאיות שנוסעות בקטע כביש זה, x נסמן ב- את מספר המכוניות הפרטיות שנוסעות בו. y וב- . א , המסומנות במערכת C ,B ,A מה מתארת כל אחת מהנקודות הצירים שלפניכם? משאיות. 7 בקטע כביש זה יכולות לנסוע לכל היותר . ב תנו דוגמה לשיעורי נקודה, שמתאימה למגבלה לגבי מספר המשאיות. . ג ) איזו משוואה מתארת את הישר המסורטט? 1( y = 7x .III y = 7 .II x = 7 .I ( 2) היכן ממוקמות הנקודות, המתאימות למגבלה לגבי מספר המשאיות, ביחס לישר המסורטט? . ד ?המשאיותמהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר )1( 5 10 4 9 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x )2( 5 10 4 9 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x מכוניות פרטיות. 11 בקטע של כביש זה יכולות לנסוע לכל היותר . ה ?המכוניות הפרטיותמהו התחום המסומן, המתאים למגבלה לגבי מספר )1( 5 10 4 9 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x )2( 5 10 4 9 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x B C A 5 10 4 9 2 7 12 3 8 13 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x מספר המכוניות הפרטיות מספר המשאיות
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ב. סימון הפתרון הגרפי דוגמה פתורה – סימון הפתרון הגרפי בקונדיטוריה מוכרים עוגות עגולות ועוגות מלבניות. בשל מגבלות זמן האפייה, כמות חומרי הגלם, שעות העבודה ומשאבים נוספים מכינים ביום מסוים כמות מוגבלת של עוגות. את מספר העוגות העגולות שהכינה הקונדיטוריה ביום מסוים. y את מספר העוגות המלבניות, וב- x נסמן ב- 25 20 10 35 15 40 5 30 10 50 30 15 35 5 45 20 25 40 y x מספר העוגות העגולות מספר העוגות המלבניות . א הנקודות שבמערכת הצירים. מהי משוואתו? 3 סַרטטו את הישר העובר דרך עוגות עגולות. 30 בקונדיטוריה מכינים ביום לכל היותר . ב ) רשמו את אי-השוויון המתאים למגבלה. 1( ( 2) סמנו במערכת הצירים את התחום המתאים למספר העוגות העגולות. עוגות מלבניות. 40 בקונדיטוריה מכינים ביום לכל היותר . ג ) רשמו את אי-השוויון המתאים למגבלה. 1( ( 2) סמנו במערכת צירים אחרת את התחום המתאים למספר העוגות המלבניות. . ד איזו נקודה מבין הנקודות הבאות מתאימה לייצג את מספר העוגות המלבניות ואת מספר העוגות העגולות, שהכינה הקונדיטוריה ביום זה בהתאם למגבלות הנתונות? הסבירו. (10.5 , 15.5) (4) (25 ,20) (3) (45 ,15) (2) (30 ,35) (1) פתרון: . א 3 . משוואתו של הישר המחבר את 30 , שהוא y הנקודות המסומנות במערכת הצירים יש אותו שיעור 3 ל- . השאלה מתארת את מספר העוגות (העגולות או המלבניות), שאינו יכול להיות שלילי, y = 30 הנקודות היא ולכן נתייחס רק לרביע הראשון בלבד. עוגות עגולות בדיוק. 30 כל נקודה (ברביע הראשון), שנמצאת על הקו שסרטטנו, מייצגת אפייה של 25 20 10 35 15 40 5 30 10 50 30 15 35 5 45 20 25 40 y x מספר העוגות העגולות מספר העוגות המלבניות
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב עוגות עגולות. 30 עוגות עגולות, כלומר לא יותר מ- 30 ) בקונדיטוריה מכינים ביום לכל היותר 1( .y ≤ 30 מייצג את מספר העוגות העגולות, ולכן אי-השוויון הוא y ( 2) נסמן את התחום ברביע הראשון, שנמצא מתחת . לכל נקודה בתחום המסומן (או על y = 30 לישר , המייצג מספר 30 קטן או שווה ל- y הישר) יש שיעור עוגות עגולות. 30 קטן או שווה ל- . ג עוגות מלבניות. 40 עוגות מלבניות, כלומר לא יותר מ- 40 ) בקונדיטוריה מכינים ביום לכל היותר 1( .x ≤ 40 מייצג את מספר העוגות המלבניות, ולכן אי-השוויון הוא x ( 2) .x = 40 נסרטט במערכת הצירים את הישר נסמן את התחום ברביע הראשון, שנמצא משמאל . לכל נקודה בתחום המסומן (או על x = 40 לישר , המייצג מספר 40 קטן או שווה ל- x הישר), יש שיעור עוגות מלבניות. 40 קטן או שווה ל- . ד , בניגוד למגבלה לגבי מספר העוגות העגולות לפי y = 35 > 30 ) לא מתאימה, כי 30 ,35 ) הנקודה ( 1( הנדרש בסיפור האורייני. ( 2) , בניגוד למגבלה לגבי מספר העוגות המלבניות לפי x = 45 > 40 ) לא מתאימה, כי 45 ,15 הנקודה ( הנדרש בסיפור האורייני. ( 3) ,40 , כלומר מספר העוגות המלבניות קטן מ- y = 20 < 30 , ו- x = 25 < 40 ) מתאימה, כי 25 ,20 הנקודה ( , בהתאם לנדרש בסיפור האורייני. 30 ומספר העוגות העגולות קטן מ- ( 4) ) לא מתאימה, כי נקודה ששיעוריה לא שלמים לא מתאימה לייצג את מספר 10.5 ,15.5 הנקודה ( העוגות. 25 20 10 35 15 40 5 30 10 50 30 15 35 5 45 20 25 40 y x מספר העוגות העגולות מספר העוגות המלבניות 25 20 10 35 15 40 5 30 10 50 30 15 35 5 45 20 25 40 y x מספר העוגות העגולות מספר העוגות המלבניות
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סיכום • אי-שוויון ליניארי כאשר הישר ניצב לציר והתחום המתאים לו: x ישר הניצב לציר ה- y ישר הניצב לציר המשוואה x = מספר y = מספר אי-שוויון x ≤ 2 x < 2 y ≤ 2 y < 2 x ≥ 2 x > 2 y ≥ 2 y > 2 • – לא כולל את הנקודות שעל הישר.קו מקווקו – כולל את הנקודות שעל הישר. קו רציף • . ≥ , ≤ ביחידה זו נתמקד באי-שוויונות מהסוג: 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x X=2 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x y=2 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x 1 -1 -3 3 -2 4 -4 2 y -4 4 -3 1 3 -2 -1 2 x
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 4 תחומים מסומנים (צבועים). לגבי כל אחד מהתחומים המסומנים ציינו: 4 לפניכם ( 1) מהי משוואת הישר בגבול של התחום המסומן? ( 2) מהו אי-השוויון המתאים לתחום המסומן? א. 1 -1 -3 -5 3 5 -2 4 6 -4 -6 2 y -4 -6 4 6 -3 -5 1 3 5 -2 -1 2 x ב. 1 -1 -3 -5 3 5 -2 4 6 -4 -6 2 y -4 -6 4 6 -3 -5 1 3 5 -2 -1 2 x ג. 1 -1 -3 -5 3 5 -2 4 6 -4 -6 2 y -4 -6 4 6 -3 -5 1 3 5 -2 -1 2 x ד. 1 -1 -3 -5 3 5 -2 4 6 -4 -6 2 y -4 -6 4 6 -3 -5 1 3 5 -2 -1 2 x . 5 א. רשמו את משוואת הישר המסורטט. . ב x רשמו שיעורים של שלוש נקודות, ששיעור ה- .4 מ-קטןשלהן . ג x סמנו את התחום המתאים לנקודות, ששיעור ה- .4 מ-קטןשלהן . ד רשמו את אי-השוויון המתאים לתחום המסומן, כולל הישר. . 6 א. רשמו את משוואת הישר המסורטט. . ב y רשמו שיעורים של שלוש נקודות, ששיעור ה- .3 מ-גדולשלהן . ג y סמנו את התחום המתאים לנקודות, ששיעור ה- .3 מ-גדולשלהן . ד רשמו את אי-השוויון המתאים לתחום המסומן, כולל הישר. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 7 .5 ל-שווה שלהן x א. סמנו במערכת צירים שלוש נקודות, ששיעור ה- . ב רשמו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות שסימנתם. . ג .5 מ-גדול או שווה שלהן x סמנו את התחום שבו נמצאות כל הנקודות, ששיעור ה- . ד רשמו אי-שוויון המתאים לתחום המסומן. . 8 .6 ל-שווה שלהן y א. סרטטו ישר המתאים לנקודות, ששיעור ה- . ב .6 מ-קטן או שווה שלהן y סמנו את התחום שבו נמצאות כל הנקודות, ששיעור ה- . ג רשמו אי-שוויון המתאים לתחום המסומן. . 9 לפניכם אי-שוויונות. מתחת לכל אי-שוויון מסורטט הישר המתאים לשוויון. העתיקו את הסרטוט למחברתכם וסמנו את התחום המתאים לאי-השוויון. x ≤ 4 א. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x x ≥ 1 ב. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x x ≥ 0 ג. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x y ≤ 5 ד. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x y ≥ 2 ה. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x y ≥ 0 ו. 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x . 10 אי-שוויונות. 4 לפניכם x ≥ 0 א. y ≥ 0 ב. x ≤ 5 ג. y ≥ 3 ד. לגבי כל אי-שוויון: ( 1) סרטטו את הישר המתאים לשוויון. ( 2) סמנו את התחום המתאים לאי-השוויון. ( 3) ציינו נקודה אחת שנמצאת בתחום שסימנתם.
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תזכורת .מתחלףכאשר כופלים או מחלקים אי-שוויון במספר שלילי, סימן אי השוויון x ≤ ‒4 ⇐ ‒2x ≥ 8 / :(‒2) למשל: . 11 אי-שוויונות. 4 לפניכם x − 1 ≤ 0 א. y + 4 ≥ 0 ב. 2x ≥ 6 ג. − y ≤ 2 ד. לגבי כל אי-שוויון: ( 1) בודדו את המשתנה. )y ≥ ‒5 ⇐ y + 5 ≥ 0 (לדוגמה: ( 2) סרטטו את הישר המתאים לשוויון. ( 3) סמנו את התחום המתאים לאי-השוויון. . 12 בפיצרייה מוכרים פיצות אישיות ופיצות משפחתיות. את מספר הפיצות המשפחתיות. y את מספר הפיצות האישיות, וב- x נסמן ב- פיצות אישיות. 40 כדי שהפיצרייה תהיה רווחית, עליה למכור ביום לפחות . א ) רשמו אי-שוויון מתאים, כדי שהפיצרייה תהיה רווחית. 1( ( 2) , וסמנו את התחום המתאים לאי-השוויון x = 40 סרטטו במערכת צירים את הישר (שימו לב! מספר הפיצות אינו שלילי). פיצות משפחתיות. 60 לפיצרייה יש מגבלות לגבי ציוד וכוח אדם, ולכן היא יכולה למכור לא יותר מ- . ב ) רשמו אי-שוויון שמתאים למגבלה לגבי מספר הפיצות המשפחתיות. 1( ( 2) , וסמנו את התחום המתאים לאי-השוויון y = 60 סרטטו במערכת צירים אחרת את הישר (שימו לב! מספר הפיצות אינו שלילי). . 13 במתפרה משתמשים בכל יום בשני סוגים של בד: בד כותנה ובד סינתטי. את מספר גלילי הבד הסינתטי. y את מספר גלילי בד הכותנה, וב- x נסמן ב- גלילים של בד כותנה בכל יום. 20 במתפרה משתמשים לכל היותר ב- . א ) רשמו את אי-השוויון המתאים למגבלה. 1( ( 2) סרטטו במערכת צירים את התחום המתאים לאי-השוויון. גלילים של בד סינתטי בכל יום. 15 במתפרה משתמשים לכל היותר ב- . ב ) רשמו את אי-השוויון המתאים למגבלה. 1( ( 2) סרטטו במערכת צירים אחרת את התחום המתאים לאי-השוויון.
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי – הישר משופע בפרק זה נתמקד בזיהוי ובסימון של פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי כאשר הישר משופע, כלומר זיהוי וסימון התחום, שעבורו מתקיים אי-השוויון בשני משתנים. נתייחס גם למצבים אורייניים מחיי היום יום. מה נלמד? 4 זיהוי וסימון של הפתרון הגרפי כאשר הישר המשופע מסורטט. 4 סרטוט הישר המשופע וסימון הפתרון הגרפי. .118-117 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ׳ .א זיהוי וסימון של הפתרון הגרפי כאשר הישר המשופע מסורטט הסבר ודוגמה פתורה - סימון הפתרון הגרפי נזכיר! • .y = mx + b היא מהצורה: משוואת ישר מפורשת הוא האיבר החופשי). b- – שיפוע הישר, ו m( .)b = ̶ 3 ,m = 2( y = 2x 3 למשל: • .Ax + By + C = 0 היא מהצורה: משוואת ישר כללית .)A = 2 ,B = ̶ 1 ,C = ̶ 3( 2x ̶ y 3 = 0 למשל: (שתי משוואות הישרים שהוצגו כאן מתארות את אותו הישר שמסורטט משמאל.) • .y ו- x באי-שוויון ליניארי בשני משתנים מופיעים המשתנים .2x – y – 3 ≥ 0 ,y ≤ 2x ‒ 3 למשל: • מתקבל מאי-שוויון ליניארי בשני משתנים, כאשר משנים את סימן אי-השוויון לסימן שוויון.ישר משופע y = 2x ‒ 3 ⇐ y ≤ 2x ‒ 3 למשל: 2x – y – 3 = 0 ⇐ 2x ‒ y ‒ 3 ≥ 0 1 3 5 4 6 2 -1 -3 -5 -2 -4 -6 y -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 6 1 2 3 5 x
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה נציגים. 10 בית ספר על-יסודי יכול לשלוח לכנס מסוים עד את מספר הנציגים מחטיבת הביניים, x נסמן ב- את מספר הנציגים מהחטיבה העליונה. y וב- . א נציגים? 10 אילו נקודות מציגות מצב, שבו נשלחו לכנס בדיוק מה מקומן ביחס לישר המסורטט? . ב אילו נקודות מציגות מצב, שלא מתאים למגבלה לגבי הכנס? . ג מה משותף לנקודות המתאימות למגבלה לגבי הכנס? מה מקומן ביחס לישר המסורטט? . ד איזה אי-שוויון מתאים לישר המסורטט ולתיאור המגבלה לגבי הכנס? . ה סמנו במערכת הצירים את התחום המתאים לאי-השוויון שבחרתם בסעיף קודם. פתרון: . א נציגים. 10 מציגות מצב, שבו נשלחו לכנס בדיוק G ו- E ,A נקודות • ) - במצב זה כל הנציגים לכנס הם מהחטיבה העליונה. 0 ,10 הם ( A שיעורי הנקודה • תלמידים 4 תלמידים מחטיבת הביניים, ו- 6 ) - במצב זה נשלחים לכנס 6 ,4 הם ( E שיעורי הנקודה מהחטיבה העליונה. • ) - במצב זה כל הנציגים לכנס הם מחטיבת הביניים. 10 ,0 הם ( G שיעורי הנקודה • שלוש הנקודות נמצאות על הישר המסורטט. . ב נציגים, שהרי: 10 מציגות מצב, שאינו מתאים למגבלת הכנס, שלפיה נשלחים לכנס עד T ו- B נקודות • נציגים מהחטיבה העליונה, 9 נציגים מחטיבת הביניים ו- 4 ) - מצב שבו יש 4 ,9 שהם ( B שיעורי הנקודה נציגים בסך-הכול. 13 כלומר • נציגים מהחטיבה העליונה, 3 נציגים מחטיבת הביניים ו- 8 ) - מצב שבו יש 8 ,3 הם ( T שיעורי הנקודה נציגים בסך-הכול. 11 כלומר . ג . המשותף לנקודות אלו הוא שסכום שיעוריהן A ,C ,D ,E ,G הנקודות המתאימות למגבלה לגבי הכנס הן: . סכום שיעוריהן מייצג את המספר הכולל של התלמידים מחטיבת הביניים ומהחטיבה 10 קטן או שווה ל- .10 העליונה שנשלחים לכנס. לפי מגבלות הכנס מספר זה הוא קטן או שווה ל- .)C , D( ) או מתחתיו A , E , G ניתן לראות בסרטוט שהן נמצאות על הישר המסורטט ( . ד ) אינו מתאים לישר המסורטט. נשנה את סימן אי-השוויון לסימן שוויון: 1 • הביטוי שבסעיף ( . השיפוע חיובי ולכן הוא ישר עולה. בסרטוט מתואר ישר יורד. m = 1 . נקבל ישר ששיפועו y = x + 10 B C E T D 5 10 4 9 2 7 12 3 8 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x החטיבה העליונה חטיבת הביניים 11 12 A G y ≤ x + 10 )1( y ≤ x 10 )2( x + y ≥ 10 )3( x + y ≤ 10 )4(
16 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • ) אינו מתאים לישר המסורטט. נשנה את סימן אי-השוויון לסימן שוויון: 2 הביטוי שבסעיף ( , אינו מתאים b = ‒10 ). אולם האיבר החופשי שלו, m = ‒1 . נקבל ישר ששיפועו שלילי ( y = x ̶ 1 0 . בסרטוט מתואר ישר יורד, שנקודת החיתוך שלו עם y לנקודת החיתוך של הישר המסורטט עם ציר ה- .b = 10 ), המתאימה ל- 0 ,10 היא ( y ציר ה- • .x + y = 10 ) מתאים לישר המסורטט. נשנה את סימן אי-השוויון לסימן שוויון: 3 הביטוי שבסעיף ( נמצא את נקודות החיתוך שלו עם הצירים: x = 0 ⇒ 0 + y = 10 ⇒ y = 10 ⇒ (0,10) y = 0 ⇒ x + 0 = 10 ⇒ x = 10 ⇒ (10,0) ).y = 10 – x (ניתן גם לעבור להצגה המפורשת של הישר: הישר מתאים לישר המסורטט, אבל אי-השוויון אינו מתאים למגבלה לגבי הכנס, כי הוא מייצג מצב, נציגים ולא יותר. 10 , אך נתון שלכנס נשלחים עד 10 ) גדול מ- x+y שבו המספר הכולל של הנציגים ( • ). אי-השוויון מתאים למגבלה לגבי הכנס, 3 ) מציג משוואת ישר זהה לזו שבסעיף ( 4 הביטוי שבסעיף ( , שזו בדיוק מגבלת הכנס. 10 כי הוא מייצג מצב, שבו המספר הכולל של הנציגים קטן או שווה ל- . ה חלקים. 3 הישר המסורטט מחלק את המישור ל- • הנקודות שעל הישר מתארות מצב, שבו נשלחים לכנס .x + y = 10 נציגים – מקיימות את השוויון 10 בדיוק • הנקודות שמתחת לישר מתארות מצב, שבו נשלחים לכנס .x + y < 10 מקיימות את השוויון ‒ נציגים 10 פחות מ- • הנקודות שמעל לישר מתארות מצב, שבו יש .x + y > 10 מקיימות את השוויון ‒ נציגים 10 יותר משתי האפשרויות הראשונות מתאימות למגבלה לגבי הכנס, ולכן התחום המתאים כולל את הנקודות הללו, כלומר התחום הצבוע בכחול והקו התוחם אותו (הישר המשופע). שימו לב! התחום הוגבל לרביע הראשון (כולל את החלקים החיוביים של הצירים ואת ראשית הצירים), כי מספר הנציגים אינו שלילי. B C E T D 5 10 4 9 2 7 12 3 8 1 6 11 2 10 6 3 7 1 9 4 5 8 y x החטיבה העליונה חטיבת הביניים 11 12 A G
17 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״ב - חלק ב׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הערות: • התאמת משוואת ישר לגרף שלו 4 )m : נבדוק התאמה של השיפוע ( y = mx + b אם משוואת הישר מוצגת בצורתה המפורשת .)b ושל האיבר החופשי ( 4 : נבדוק התאמה של נקודות החיתוך Ax + By + C = 0 אם משוואת הישר מוצגת בצורתה הכללית עם הצירים (ניתן גם לעבור מהמשוואה הכללית למשוואה המפורשת). • זיהוי וסימון של התחום המתאים דרך א' - בעזרת הצבה נבחר נקודה במערכת הצירים (שלא נמצאת על הישר) ונבדוק אם שיעוריה מקיימים את אי-השוויון. למשל: :)0,0 נציב בו את הנקודה ( ,x + 2y ≤ 4 אם אי-השוויון הוא: 0 + 2 ∙ 0 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 4 ) מקיימת את אי-השוויון, ולכן היא שייכת לתחום המתאים לאי-השוויון. 0,0 הנקודה ( ) נמצאת על הישר, יש לבחור נקודה אחרת. 0,0 ) קלה להצבה, ולכן כדאי לבחור בה. אם ( 0,0 : הנקודה (הערה 4 אם שיעורי נקודה כלשהי בתחום מקיימים את אי-השוויון, אז שיעורי כל הנקודות באותו תחום מקיימים את אי-השוויון. 4 אם שיעורי נקודה כלשהי בתחום לא מקיימים את אי-השוויון, אז שיעורי כל הנקודות באותו תחום לא מקיימים את אי-השוויון. דרך ב' - בעזרת סימן אי-השוויון 4 -) ונהפוך את 1 יהיה חיובי (אם הוא שלילי, נכפול את שני אגפי אי-השוויון ב-( y נקפיד שהמקדם של לאגף השני). y סימן אי-השוויון, או שנעביר את 4 נמצא באגף הקטן מבין השניים, נסמן את התחום שמתחת לישר. y אם נמצא באגף הגדול מבין השניים, נסמן את התחום שמעל לישר. y אם x + 2y ≤ 4 y x התחום שמתחת לישר (כולל הנקודות שעל הישר) x + 2y ≥ 4 y x התחום שמעל לישר (כולל הנקודות שעל הישר)
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=