אשכול התמצאות במישור ובמרחב יח״ל 3 רמת 4576 מספר אישור: 29.1.24 אושר בתאריך:
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2023 © 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-63 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-81-9 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב 4576 מספר אישור: 29.1.24 אושר בתאריך:
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י' – חלק ב' – אשכול התמצאות במישור ובמרחב" מתאים לתכנית הלימודים החדשה יח"ל. 3 ברמת ספר זה הוא השני מתוך שלושה ספרים. השאלות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי היום יום. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו, רתם פרוידנברג ויעל רחבי, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1........................................................................ אשכול התמצאות במישור ובמרחב – פתיח 2............................................................ יחידה ראשונה – היקפים של צורות גיאומטריות 3. ........................................................................................................................... היקף בחיי היום יום היקף משולשים . א 5 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� היקף משולשים . ב 7 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� משפט פיתגורס . ג 10 �������������������������������������������������������������������������������������� היקף משולשים - עם משפט פיתגורס 19. ................................................................................................................................. היקף מרובעים 33. ................................................................................................................................... היקף מעגלים 39. ................................................................................................ היקף של צורות גיאומטריות מורכבות השפעת השינוי בממדים על ההיקף . א 47 ��������������������������������������������������������������������������������������������� ) צורות מלבניות (כולל ריבועיות . ב 51 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� צורות מעגליות 55. ................................................................................................. היקף – השוואות ו/או קבלת החלטות 63. .......................................................................................................................................... תשובות 68. ...................................................................................................... יחידה שנייה – מסלולים אורכי מסלולים . א 69 ���������������������������������������������������������������������������������������������� שאלות ללא צורות גיאומטריות . ב 76 ����������������������������������������������������������������������������������������������� שאלות עם צורות גיאומטריות 85. ................................................................................................................................ תכנון מסלולים 90. ............................................................................................................................... בחירת מסלולים 102.......................................................................................................................................... תשובות 106......................................................... יחידה שלישית – שטחים של צורות גיאומטריות המחשת מושג השטח, יחידת שטח וחישוב שטח (כולל אומדן) . א 107 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� המחשת מושג השטח . ב 107 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� יחידת שטח וחישוב שטח . ג 109 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� אומדן שטח 111................................................................................................................................ שטח משולשים 120................................................................................................................................. שטח מרובעים
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 133................................................................................................................................... שטח עיגולים 139................................................................................................. שטח של צורות גיאומטריות מורכבות השפעת השינוי בממדים על השטח . א 148 ������������������������������������������������������������������������������������������� ) צורות מלבניות (כולל ריבועיות . ב 153 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ צורות מעגליות 157.................................................................................................. שטח – השוואות ו/או קבלת החלטות 163.......................................................................................................................................... תשובות 168...................................................................................................... יחידה רביעית – ריצופים מצולעים . א 169 ������������������������������������������������������������������������������������������������ סכום הזוויות במצולע קמור . ב 172 ��������������������������������������������������������������������������������������� גודל זווית פנימית במצולע משוכלל . ג 174 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� שטח משושה משוכלל 176..................................................................................................................... ריצופים בחיי היום יום 178................................................................................... ריצוף של המישור באמצעות צורות גיאומטריות 181................................................................................................................... שילוב של ריצוף ואומנות 184.......................................................... חישוב שטחים ועלויות של ריצופים באמצעות צורות גיאומטריות 192............................................................................................................. קבלת החלטות לגבי ריצופים 198.......................................................................................................................................... תשובות 201........ יחידה חמישית – היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות בהקשר אורייני 201................................................................................................................ היקף ושטח בחיי היום יום 203....................................................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות בסיסיות 208....................................................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות מורכבות 217..................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות – הגדלה/הקטנה של מדדי הצורה 221......................................................... היקף ושטח של צורות גיאומטריות – השוואה ו/או קבלת החלטות 227.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 230........................................................................... נספח א' – הגדרות ותכונות של הצורות הגיאומטריות 233.......................................................................... נספח ב' – היקפים ושטחים של הצורות הגיאומטריות 235.................................................................................................................... נספח ג' – המרת יחידות 239.................................................................................................................. נספח ד' – מבחני מתכונת
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב - פתיח • אשכול זה מתמקד באובייקטים של העולם האמיתי. בעיות שנפתרות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי האדם. • תכנים מתמטיים באשכול (כולל מושגים מתמטיים) ✔ היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות. ✔ המרת יחידות. ✔ אומדן. • תכנים אוריינים באשכול ✔ הדוגמאות המוצגות הן מחיי היום יום של התלמידים. ✔ מוצגים יישומים ספציפיים ביחידות נפרדות. • יחידות 5 אשכול התמצאות במישור ובמרחב מכיל ✔ יחידה ראשונה: היקפים של צורות גיאומטריות (משולשים, מרובעים, מעגלים, צורות המורכבות ממלבנים ו/או ממעגלים ו/או מחלקי מעגלים). ✔ יחידה שנייה: מסלולים כולל חישוב מהירות. ✔ יחידה שלישית: שטחים של צורות גיאומטריות (משולשים, מרובעים, מעגלים, צורות המורכבות ממלבנים ו/או ממעגלים ו/או מחלקי מעגלים). ✔ יחידה רביעית: ריצופים. ✔ יחידה חמישית: היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות. • בסוף הספר מופיעים נספחים בנושאים, שנלמדו בחטיבת הביניים ונדרשים ללימוד באשכול זה.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה היקפים של צורות גיאומטריות ביחידה זו נעסוק בנושאים הבאים: • משפט פיתגורס. • תכונות של צורות גיאומטריות (משולש שווה-שוקיים, משולש שווה-צלעות, משולש ישר-זווית, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז). • היקף צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים (כולל משולש, מקבילית, מלבן, מעוין וריבוע). • היקף מעגל. • היקף צורות שהשפה שלהן מורכבת מקטעים ומחלקי מעגל/מעגלים. • שימוש בהיקף צורות גיאומטריות בהקשר אורייני. • ההשפעה של שינוי של אחד או יותר מממדי הצורה (מלבן או מעגל) על ההיקף של הצורה – בהקשר אורייני. • הפעלת שיקולי כדאיות בסיטואציות אורייניות הדורשות השוואה, תוך חישוב של ההיקפים של צורות גיאומטריות ו/או חישוב העלויות הנדרשות. תזכורת שווה לסכום אורכי כל צלעותיו.היקף מצולע היקף = a + b + c + d משימת פתיחה לפניכם שתי בריכות שחייה. מיכאל התבקש לתת הצעת מחיר עבור גדר בטיחות מסביב לבריכות, ולשם כך הוא צריך לחשב את היקפן. א. חשבו את היקף הבריכה שבסרטוט א' (הנתונים במ'). ב. לאיזו בריכה יש היקף גדול יותר: לבריכה שבסרטוט א׳ או לבריכה שבסרטוט ב' (הנתונים במ')? נמקו את תשובתכם. .63 התשובה למשימת הפתיחה בעמ' a c d b 4 2 1 6 4 3 סרטוט א׳ 6 6 4 4 סרטוט ב׳
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © היקף בחיי היום יום בפרק זה נדגים בצורה מוחשית מצבים מחיי היום יום, שבהם נעשה שימוש בהיקף ונתייחס למשמעות ההיקף בקשר למצב המוצג. .63 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' דוגמה פתורה לפניכם טבלת מידות של צמידי נשים. . א ס"מ. 16.2 היקף מפרק כף ידה של תמר הוא איזו מידת צמיד מתאימה לה? . ב .L עינת קנתה צמיד במידה מה תוכלו לומר על ההיקף של מפרק כף ידה? .6 וטבעת במידה L בחנות התכשיטים מוצע מארז ובו צמיד במידה . ג ס"מ 16.6 היקף מפרק כף ידה של מעין הוא מ"מ. 52.4 והיקף האצבע שלה הוא האם הצמיד והטבעת שבמארז מתאימים למעין? נמקו. פתרון: . א ס"מ. 15.5-16.5 ס"מ, הנמצא בתחום 16.2 ההיקף של מפרק כף ידה של תמר הוא .M לכן מידת הצמיד המתאימה לה היא . ב ס"מ. 16.5-17.5 מתאימה להיקף מפרק כף היד שבתחום L מידת צמיד . ג מתאים לה. היקף האצבע של מעין הוא L ס״מ, ולכן צמיד במידה 16.6 היקף מפרק היד של מעין הוא מתאימה להיקף האצבע שלה. שני הפריטים במארז מתאימים 6 מ"מ, ולכן גם הטבעת שבמידה 52.4 למידותיה של מעין. . 1 תנו דוגמה מחיי היום יום למצבים שבהם נדרש חישוב ההיקף. היקף האצבע (מ"מ) מידת הטבעת 44.5 3 46.5 4 49.2 5 52.4 6 54 7 57.2 8 היקף מפרק כף היד (ס״מ) מידת הצמיד 14-14.5 XS 14.5-15.5 S 15.5-16.5 M 16.5-17.5 L 17.5-18.5 XL
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 2 לפניכם מידות של בגדי גברים עבור חולצות/סריגים/מעילים בחברת אופנה מסוימת. . א ס"מ. הוא מעוניין לקנות מעיל. 112 היקף החזה של אורי הוא איזו מידה עליו להזמין? . ב ס"מ, 106 יואב מעוניין לקנות סריג. היקף החזה שלו הוא ס"מ. איזו מידה עליו להזמין? 41 והיקף הצוואר שלו הוא . ג לביא מעוניין לקנות חולצה מכופתרת, אך התברר לו שנותרו .XXL ,XL ,M באתר חולצות מכופתרות רק במידות ס"מ. 97 ס"מ, והיקף החזה שלו הוא 39 היקף הצוואר שלו הוא האם יש חולצה במידה מתאימה עבורו? נמקו. . 3 כדור הארץ הוא כוכב לכת. . א באילו יחידות מדידה הגיוני למדוד את היקף כדור הארץ סביב קו המשווה? חפשו באינטרנט את המידע לשאלות הבאות: . ב מהו היקף כדור הארץ סביב קו המשווה? . ג מהו היקף כדור הארץ לאורך מעגל, העובר דרך הקוטב הצפוני והקוטב הדרומי (מעגל כזה נקרא "קו אורך")? . 4 היקף הראש של תינוק הוא אחד מהממדים החשובים שנבדקים. היקף ראש שאינו תקין יכול לכוון להפרעה בהתפתחות התקינה של המוח. ס"מ. 37 ס"מ ומתחת ל- 32 היקף ראש תקין של תינוק זכר במהלך הלידה הוא מעל שבסוף השאלה, וחפשו מידע ביחס לעלייה תקינה בהיקף הראש של תינוק זכר QR סרקו את הקוד לפי העקומה הירוקה (האמצעית): . א בששת החודשים הראשונים לחייו. . ב מגיל שנה עד שנתיים. ) (מתוך אתר משרד הבריאות, עקומות גדילה, בנים - היקף הראש לפי גיל: מידה היקף החזה (ס"מ) היקף הצוואר (ס"מ) XS 88-92 36 S 93-98 38 M 99-104 40 L 105-110 42 XL 111-116 44 XXL 117-125 46 XXXL 126-132 48 הקוטב הצפוני הקוטב הדרומי קו המשווה
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © היקף משולשים (ישר-זווית, שונה היקף משולשים והוא בבית הספר היסודי ובחטיבת הביניים,בפרק זה נחזור על נושא שנלמד שנלמד בחטיבת הביניים. משפט פיתגורסצלעות, שווה-שוקיים, שווה-צלעות) ועל נעסוק במצבים מחיי היום יום, שבהם נדרש לחשב היקף של משולשים. . שבנספח ג׳ ובהמרת יחידות אורךשבנספח א'בשאלות ייעשה שימוש בתכונות של המשולשים בספר אשכול שבנספח א׳בחלק מהתרגילים בפרק זה נשתמש בפתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה מדעים וחברה. מה נלמד? ✔ היקף משולשים. ✔ משפט פיתגורס. ✔ היקף משולשים - עם משפט פיתגורס. .64-63 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א היקף משולשים תזכורת שווה לסכום אורכי כל צלעותיו: היקף משולש P = a + b + c ,Perimeter . מקורה במילה האנגלית ההיקף משמשת לסימון P האות שפירושה היקף. דוגמה היקפו של המשולש שבסרטוט (הנתונים בס"מ) הוא: P = 2 + 3 + 4 = ס"מ 9 . 5 מצאו את ההיקף של כל אחד מהמשולשים הבאים (הנתונים בס"מ). . א משולש שונה-צלעות 8 11 13 . ב משולש שווה-שוקיים 8 11 . ג משולש שווה-צלעות 5 a c b 2 3 4
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 6 מצאו את אורכי הצלעות החסרות במשולשים הבאים על-פי הנתונים (הנתונים בס"מ). . א היקף המשולש הוא ס"מ. 29 . ב היקף המשולש שווה- ס"מ. 31 השוקיים הוא . ג היקף המשולש שווה- ס"מ. 27 הצלעות הוא . 7 המאפה שבצילום הוא בצורת משולש. היעזרו בנתונים שבסרטוט ומצאו את היקף המאפה. . 8 התליון שבצילום הוא בצורת משולש שווה-שוקיים. ס"מ. 2.5 אורך בסיס המשולש הוא ס"מ מאורך הבסיס. 1 אורך השוק גדול ב- . א מצאו את אורך שוק התליון. . ב מצאו את היקף התליון. . 9 החלון שבצילום הוא בצורת משולש שווה-שוקיים. מ'. 1.5 אורך בסיס המשולש הוא ס"מ מאורך הבסיס. 30 אורך השוק קטן ב- . א מצאו את אורך השוק בס״מ. ס"מ) 100 = מ' 1 (הדרכה: . ב מצאו את היקף החלון. . 10 ס"מ. 30 הוא AB השעון שבצילום הוא בצורת משולש. אורך הצלע . א .AC . מצאו את אורך הצלע AB ס"מ מאורך הצלע 8 קטן ב- AC אורך הצלע . ב .BC . מצאו את אורך הצלע AB מאורך הצלע 1.5 גדול פי BC אורך הצלע . ג מצאו את היקף מסגרת השעון המשולשת. 10 13 7 ס״מ 5 ס״מ 6 ס״מ 7 ס״מ 2.5 מ׳ 1.5 B C A ס״מ 30
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 11 בקונדיטוריה יש עוגיות בצורת משולש שווה-צלעות. ס"מ. 18 היקף כל עוגייה הוא . א מהו אורך הצלע של העוגייה המשולשת? במרכז כל עוגייה יש משולש שווה-צלעות נוסף שאורך צלעו קטן מאורך צלע העוגייה. 3 פי . ב מהו אורך הצלע של המשולש הפנימי? (1) ( 2) מהו היקף המשולש הפנימי? .ב משפט פיתגורס תזכורת ורקע היסטורי תזכורת • . . מסומנת בסרטוט כך: 90° היא זווית בת זווית ישרה • .(∢C = 90°) הוא משולש שאחת מזוויותיו ישרה משולש ישר-זווית במשולש ישר-זווית הצלעות המאונכות זו לזו (הזווית ביניהן ישרה) .יתר, והצלע השלישית נקראת ניצביםנקראות .AB , והיתר הוא BC ו- AC בסרטוט הניצבים הם פיתגורס לפנה"ס בקירוב). 495 לפנה"ס בקירוב – 570 פיתגורס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני שנולד באי סאמוס ( לפנה"ס התיישב בקרוטון שבדרום איטליה, והקים סביבו את האסכולה הפיתגוראית – קהילה 529 בשנת דתיתֿ-פילוסופית, שדגלה באורח-חיים של פשטות המוקדש לעיון ולהתבוננות. פיתגורס מוכר בעיקר בזכות המשפט הנקרא על שמו. משפט פיתגורס המשפט הבא נקרא על שם פיתגורס, ומייחסים לו את ההוכחה הכללית הראשונה של המשפט, אך אין ודאות לכך. המשפט עצמו ללא ההוכחה היה מוכר מאות שנים לפני פיתגורס, ויש על כך עדויות ,משולש ישר-זוויתבמצרים העתיקה, בבבל ובסין. המשפט מתאר את הקשר בין שלוש צלעותיו של על ידי שימוש בריבועים הבנויים על צלעותיו. .2 שטח הריבוע שווה לאורך צלע הריבוע בחזקת נזכיר: a c b A B C
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © המשפט הוא: סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר: a2 + b2 = c2 למשפט פיתגורס יש מאות הוכחות. בין כותבי ההוכחות נמנים של ארצות הברית) 20 לאונרדו דה וינצ'י, ג'יימס גארפילד (הנשיא ה- ואלברט איינשטיין (בנעוריו). משפט פיתגורס - ניסוח נוסף • בכל משולש ישר-זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר: a2 + b2 = c2 שימו לב! .a + b = c אינו גורר את השוויון: a2 + b2 = c2 השוויון: • יישומון להמחשת משפט פיתגורס: • סרטון המציג את משפט פיתגורס באופן ויזואלי (מתוך מוזיאון המדע ע״ש בלומפילד בירושלים): דוגמאות פתורות דוגמה א' ס"מ. 12 ס"מ ו- 9 אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם: מצאו את אורך היתר. פתרון: ס״מ את אורך היתר. x נסמן ב- , סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, ולכן:משפט פיתגורסלפי 92 + 122 = x2 81 + 144 = x2 225 = x2 x = ±15 a c b a2 b2 c2 יתר ניצב b c a ניצב 9 12 x
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הערה חשובה! .x = −15 או x = 15 יש שני פתרונות: x2 = 225 למשוואה .חיובי מייצג אורך של צלע, לכן אורכו חייב להיות x לכן מעתה נתייחס בגיאומטריה רק לתוצאה החיובית מבין שתי התוצאות שהתקבלו. ס"מ. 15 תשובה: אורך היתר הוא דוגמה ב' ס"מ. 8 ס"מ, ואורך היתר הוא 2 3 במשולש ישר-זווית אורך ניצב אחד הוא מצאו את האורך של הניצב השני. פתרון: מתקיים:משפט פיתגורס ס״מ את הניצב השני. לפי x נסמן ב- (2 3)2 + x2 = 82 4 ∙ 3 + x2 = 64 12 + x2 = 64 / −12 x2 = 52 (הפתרון השלילי נפסל) x = 7.21 ס"מ. 7.21 תשובה: אורך הניצב השני הוא . 12 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 12 5 x . ב x 15 20 . ג 9 7 x . 13 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א 5 4 x . ב 12 10 x . ג x 17 22 2 3 8 x
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 14 במשולשים ישרי-הזווית הבאים (הנתונים בס"מ). x מצאו את . א x 58 3 . ב 3 x 91 . ג 12 x 6 5 הידעתם? נקראת שְלָשָה פיתגורית, אם המספרים מקיימים את a,b,c שְלָשָה של מספרים טבעיים (שלמים וחיוביים) .a2 + b2 = c2 השוויון המופיע במשפט פיתגורס: .32 + 42 = 52 הם שְלָשָה פיתגורית, כי הם מספרים טבעיים וגם מקיימים: 3,4,5 לדוגמה: המספרים ,)1 שְלָשָה פיתגורית יסודית היא שלשה, שאין לה מחלק משותף (מלבד .5,12,13 או 3,4,5 למשל: שְלָשָה פיתגורית לא יסודית היא שְלָשָה, שמתקבלת משְלָשָה פיתגורית יסודית, שהוכפלה באותו מספר טבעי. .3,4,5 של השְלָשָה היסודית 10 היא שְלָשָה פיתגורית לא יסודית, כי התקבלה מהכפלה ב- 30,40,50 למשל: . 15 קבוצת תלמידות טענה את הטענות הבאות. היעזרו בתכונות השְלָשָה הפיתגורית, ולגבי כל טענה ציינו אם היא נכונה. נמקו. . א הם שלשה פיתגורית. 1,2,3 תמר אמרה ששלושת המספרים: . ב הם שלשה פיתגורית יסודית. 8,15,17 מעין אמרה ששלושת המספרים: . ג הם שלשה פיתגורית. 6,8,10 הילה אמרה ששלושת המספרים: . ד הם שלשה פיתגורית. 1.5,2,2.5 נועה אמרה ששלושת המספרים: . ה נעמה אמרה שיש אינסוף שלשות פיתגוריות. .ג היקף משולשים - עם משפט פיתגורס דוגמה פתורה ס"מ. 8 הוא AB אורך הניצב (∢B = 90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית .AB מאורך הניצב 25% קטן ב- BC אורך הניצב . א .BC מצאו את אורך הניצב . ב .AC מצאו את אורך היתר . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש 8 A B C
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א ס"מ. 8 , שאורכו AB מאורך הניצב 25% קטן ב- BC הניצב .(100% – 25% = 75%) AB מאורכו של 75% מהווה BC כלומר אורכו של BC = 0.75 ∙ 8 = ס״מ 6 לכן: ס"מ. 6 הוא BC תשובה: אורך הניצב . ב מתקיים:משפט פיתגורסלפי 62 + 82 = AC2 36 + 64 = AC2 AC2 = 100 (הפתרון השלילי נפסל) AC = ס"מ 10 ס"מ. 10 הוא AC תשובה: אורך היתר . ג נמצא את היקף המשולש: P = 6 + 8 + 10 P = ס"מ 24 ס"מ. 24 תשובה: היקף המשולש הוא . 16 ס"מ. 4 במשולש ישר-זווית אורך הניצב הקצר הוא מאורך הניצב הקצר. 2 אורך היתר גדול פי . א מצאו את אורך הניצב הגדול. . ב מצאו את היקף המשולש. . 17 ס"מ. 10 הוא AB אורך הניצב (∢B = 90°) ∆ABC במשולש ישר-זווית .AB מאורך הניצב 20% גדול ב- AC אורך היתר . א .AC מצאו את אורך היתר . ב .BC מצאו את אורך הניצב . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש 4 10 A B C
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תזכורת • במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס. AB = AC , AE ⊥ BC ⇒ BE = EC • יישומון להמחשת הקשר בין הגובה לבסיס והתיכון לבסיס במשולש שווה-שוקיים על-ידי גרירת קדקודי המשולש שביישומון: דוגמה פתורה .)AB = AC הוא שווה-שוקיים ( ∆ABC המשולש ס"מ. 15 הוא AB אורך השוק ס"מ. 12 הוא גובה לבסיס ואורכו AD . א .BD סמנו את הנתונים בסרטוט ומצאו את אורך הקטע . ב .DC מצאו את אורך הקטע . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש פתרון: . א .BD = ס״מ x נסמן: מתקיים: ∆ABD במשולש משפט פיתגורסלפי x2 + 122 = 152 x2 + 144 = 225 x2 = 81 (הפתרון השלילי נפסל) x = ס"מ 9 ס"מ. 9 הוא BD תשובה: אורך הקטע . ב , ולכן מתקיים:הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון לבסיס .BD = DC = ס"מ 9 ס"מ. 9 הוא DC תשובה: אורך הקטע . ג .AB = AC = ס"מ 15 הוא שווה שוקיים, ולכן: ∆ABC המשולש BC = BD + DC = 9 + 9 = ס"מ 1 8 :∆ABC נמצא את היקף המשולש P = 15 + 15 + 18 P = ס"מ 48 ס"מ. 48 הוא ∆ABC תשובה: היקף המשולש A E B C B C A D C D B A 15 12 x
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 18 (AB = AC) ∆ABC במשולש שווה-שוקיים ס"מ. 10 אורך הגובה לבסיס הוא ס״מ. 8 אורך הבסיס הוא . א .CD מצאו את אורך הקטע . ב ,∆ADC התבוננו במשולש .∆ABC ומצאו את אורך השוק של המשולש . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש . 19 ס"מ. 15 במשולש שווה-שוקיים אורך השוק הוא מאורך השוק. 20% אורך הגובה לבסיס קטן ב- . א מצאו את אורך הגובה לבסיס. . ב מצאו את אורך הבסיס של המשולש. . ג מצאו את היקף המשולש. . 20 ס"מ. 42 היקף משולש שווה-צלעות הוא . א מצאו את אורך צלע המשולש. . ב .BD מצאו את האורך של . ג מצאו את אורך הגובה של המשולש. . 21 ס״מ. 67 הוא ∆ABC היקף המשולש ס"מ. 30 הוא BC אורך הצלע . א .AC ו- AB מצאו את סכום אורכי הצלעות . ב .AB ס"מ מאורך הצלע 3 קטן ב- AC אורך הצלע מצאו את אורכי צלעות המשולש. . 22 מאורך השוק. 80% במשולש שווה-שוקיים אורך הבסיס הוא ס"מ. 70 היקף המשולש הוא . א ס״מ את אורך השוק, והביעו באמצעותו את אורך הבסיס. x סמנו ב- . ב את היקף המשולש, ומצאו את אורך שוק המשולש. x הביעו באמצעות B C A 10 D 15 C D A B A C B
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הידעתם? ּגַמְלֹון הוא אלמנט אדריכלי בצורת משולש שווה-שוקיים הממוקם בחזית של מבנה. מטרתו של הגמלון היא להדגיש את הגג המשופע שבחזית, הוא מקשט את החזית ונותן למבנה מראה יציב. גמלונים נפוצים במבנים רבים באדריכלות יוון העתיקה, אך גם בסגנונות אדריכליים רבים אחרים. בתמונה מופיע הגמלון שבחזית "האקדמיה היוונית הלאומית" באתונה. דוגמה פתורה אדריכלית תכננה גג גמלון למרפסת של צימר (ראו סרטוט). הגמלון שתכננה מ'. 2.4 ס"מ ורוחבו 90 הוא בצורת משולש שווה-שוקיים שגובהו . א מהו אורך השוק של הגמלון? . ב מהו אורך קורת העץ הדרושה לבניית המשולש המרכיב את הגמלון (המשולש האדום)? פתרון: . א ס"מ. 240 = מ' 2.4 , ולכן: ס״מ 100 = מ׳ 1 נסרטט משולש ונציין בסרטוט את הנתונים. הגובה לבסיס במשולש שווה-שוקיים הוא גם תיכון לבסיס, ולכן מתקבלים שני משולשים ישרי-זווית חופפים שאורכי ניצביהם הם: .)240 : 2 = 120 ס"מ ( 120 ס"מ ו- 9 0 :במשפט פיתגורס ס"מ את אורך השוק של הגמלון, ונחשב את ערכו על-ידי שימוש x נסמן ב- 902 + 1202 = x2 8100 + 14400 = x2 x2 = 22500 (הפתרון השלילי נפסל) x = ס״מ 150 מ׳. 1.5 = ס"מ 150 תשובה: אורך השוק של הגמלון הוא באופן דומה ניתן לחשב באמצעות המרת המידות למטרים.הערה: . ב אורך קורת העץ הדרושה לבניית המשולש המרכיב את הגמלון הוא היקף המשולש: P = 240 + 2 ∙ 150 = ס״מ 54 0 מ'. 5.4 ס"מ, שהם 540 תשובה: לבניית הגמלון דרושה קורת עץ באורך של . 23 גינה בצורת משולש ישר-זווית מוקפת בגדר. מ'. 6 מ'. אורך אחד הניצבים הוא 10 אורך היתר במשולש הוא . א מצאו את אורך הצלע השלישית של הגינה. . ב מהו אורך הגדר המקיפה את הגינה? 120 120 240 x 90 6 10
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 24 מפרש הסירה המופיע בצילום הוא בצורת משולש ישר-זווית. . א היעזרו בנתונים המופיעים בסרטוט ומצאו את אורך היתר. . ב סביב המפרש תפרו סרט. מהו אורך הסרט? . 25 סולם הושען על קיר כמתואר באיור. ס"מ. 50 מ', והמרחק בין רגלי הסולם לקיר הוא 1.2 קצה הסולם הונח על הקיר בגובה . א ס"מ) 100 = מ' 1 (הדרכה: מהו אורך הסולם? . ב ס"מ? 80 לאיזה גובה יגיע הסולם, אם המרחק בין רגלי הסולם לקיר הוא (הדרכה: היעזרו באורך הסולם שמצאתם בסעיף א׳.) . 26 קופסה למשולש פיצה היא בצורת משולש שווה-שוקיים. ס"מ. 24 אורך הגובה לבסיס המשולש הוא ס"מ. 10 הוא DC אורך הקטע . א .(AC) מצאו את אורך שוק המשולש . ב מצאו את אורך בסיס המשולש. (הדרכה: היעזרו בתכונת הגובה לבסיס במשולש שווה-שוקיים.) . ג מצאו את היקף החלק העליון של הקופסה המשולשת. . 27 בגוף התאורה שבצילום יש מסגרות בצורת משולשים שווי-שוקיים זהים. ס"מ. 34 אורך שוק המשולש שבכל מסגרת הוא ס"מ מאורך שוק המשולש. 4 אורך הגובה לבסיס המשולש קטן ב- . א מצאו את אורך הגובה לבסיס המשולש. . ב מצאו את אורך בסיס המשולש. . ג מצאו את ההיקף (אורך המסגרת) של אחד המשולשים שבגוף התאורה. מ׳ 6 2.5 מ׳ 1.2 ס״מ 50 A C B D 10 24 A C B D 34
16 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 28 חלק מקורות החיזוק של גג יוצרות משולש. מ'. 1.6 הוא (AD) אורך גובה המשולש מ'. 1.2 הוא DB אורך הקטע . א .AB מצאו את אורך הקורה .AB מאורך הקורה 1.1 גדול פי AC אורך הקורה . ב .AC מצאו את אורך הקורה . ג .CD מצאו את אורך הקטע . ד מצאו את סכום אורכי הקורות שיוצרות את המשולש. . 29 לשמשייה יש מוט מרכזי וחוּפָּה. מערכת החיזוקים בין המוט לחופה יוצרת משולשים ישרי-זווית, כמתואר בצילום. בכל משולש ישר-זווית ס"מ. 18 הוא (BC) כזה אורך אחד הניצבים מאורך הניצב השני. 25% אורך היתר גדול ב- . א את אורך x ס״מ את אורך הניצב השני, והביעו באמצעות x סמנו ב- היתר. . ב .AC ו- AB היעזרו במשפט פיתגורס, ומצאו את אורכי הצלעות . ג .∆ABC מצאו את היקף המשולש . ד ס"מ לכל מוט בכל אחד משני צדדיו. 2 כל חיבור בין שני מוטות מחייב תוספת של מהו סכום אורכי כל המוטות הדרושים ליצירת משולש אחד? . 30 אריח הוא בצורה של משולש ישר-זווית. ס"מ. 70 ס"מ. היקף האריח הוא 20 אורך אחד הניצבים הוא . א ס״מ את אורך היתר, והביעו באמצעותו את אורך הניצב השני של האריח. x סמנו ב- . ב (אורך היתר של האריח). x מצאו את .(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2 הדרכה: היעזרו בחוק הפילוג המורחב: . 31 ס"מ. 14 בגבינה שצורתה משולש ישר-זווית סכום אורכי הניצבים הוא ס"מ. 10 אורך היתר הוא . א ס״מ את אורך אחד הניצבים של משולש הגבינה, x סמנו ב- והביעו באמצעותו את אורך הניצב השני. . ב מצאו את אורכי הניצבים של משולש הגבינה. . ג מצאו את היקף משולש הגבינה. B D 1.2 1.6 A C A B C 20 10
17 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 32 לפניכם תמונה של מקטע מתוך גשר ארסונד, המחבר בין דנמרק לשוודיה, ק"מ). המקטע המעוגן בכבלים הוא בצורת 16 והוא הגשר הארוך בעולם ( מ'. 204 מ' וגובהו 490 משולש שווה-שוקיים, שאורך בסיסו . א מצאו את אורך הכבל שמהווה את שוק המשולש (צבוע באדום). . ב מהו היקף המשולש שווה-השוקיים? . 33 חטיף תירס הוא בצורת משולש שווה-שוקיים. מאורך הבסיס. 50% אורך השוק גדול ב- ס״מ. 8 היקף חטיף התירס המשולש הוא מצאו את אורך צלעות החטיף המשולש. . 34 ) הוא מתקן טיפוס לילדים, המפתח את היכולות המוטוריות שלהם. Pikler משולש פיקלר ( ס"מ, המחוברים בצירים 86 המתקן מורכב משני סולמות זהים, שאורך כל אחד מהם הוא וניתנים לפתיחה במפתחים שונים. . א ס"מ? 80 מה יהיה גובה המתקן כשהוא פתוח, אם המרחק בין הרגליים הוא . ב מה יהיה המרחק בין הרגליים כשהמתקן פתוח בזווית ישרה בין שני הסולמות? (1) ( 2) מה יהיה היקף המשולש במקרה זה? . 35 זגג התקין בעליית גג חלון שצורתו משולש שווה-שוקיים. מ'. 1.6 גובה החלון הוא מאורך שוק המשולש. 20% בסיסו של המשולש ארוך ב- . א מ׳ את אורך שוק המשולש, והביעו באמצעותו את: x סמנו ב- ( 1) .BC אורך בסיס המשולש ( 2) .DC אורך הקטע . ב מצאו את אורך שוק המשולש. . ג מצאו את אורך המסגרת של החלון. . 36 קולב בצורת משולש שווה-שוקיים, המחובר לוו תלייה, עשוי מחוט מתכת. ס״מ מאורך הבסיס. 20 אורך השוק קטן ב- ס"מ. 95 אורך חוט המתכת הדרוש להכנת קולב אחד (ללא וו התלייה) הוא . א ס״מ את אורך הבסיס, והביעו באמצעותו את אורך השוק. x סמנו ב- . ב מצאו את אורכי הצלעות של המשולש. . ג מאורך חוט המתכת הדרוש לשוק. 50% לוו התלייה דרוש חוט מתכת שאורכו מה אורכו של חוט המתכת הדרוש לוו התלייה? 86 80 A C B D
18 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 37 מעל חנות גלידה תלוי שלט, ובו צורה של גביע גלידה (מסומן בצבע ורוד). גביע הגלידה שבשלט הוא בצורת משולש שווה-שוקיים, שאורך הבסיס שלו מאורך השוק. 5 6 הוא . א מ׳ את אורך השוק של המשולש x סמנו ב- והביעו באמצעותו את היקף המשולש. . ב מ'. 2.72 הפסים ביחד הוא 3 על כל צלע של הגביע יש פס נורות. אורך .x מצאו את . ג ס"מ זו מזו. 2 פס הנורות מורכב מנורות דקות מאוד, המונחות במרחק של נורות יספיק עבור הנורות הדרושות לגביע הגלידה? 150 האם מארז שבו ס״מ) 100 = מ׳ 1 (הדרכה: . 38 .(∆ABC) הבורקס שמכינה שושנה הוא בצורת משולש שווה-צלעות ס"מ. 7 הוא (BC) לאחת הצלעות (AD) אורך הגובה . א , והביעו באמצעותו את אורך DC ס״מ את אורך הקטע x סמנו ב- צלע המשולש (הדרכה: היעזרו בתכונות של משולש שווה- צלעות). . ב .DC מצאו את אורך הקטע . ג .(∆ABC) מצאו את היקף הבורקס . 39 ביישוב מסוים מתכננת העירייה להקים מתחם דשא בצורה הבאה: שטחי פרחים בצורת משולשים ישרי-זווית חופפים, ובאמצע 4 המתחם בנוי מ- שטח ובו דשא וספסלים. מסביב למשטחי הפרחים רוצים לבנות גדר. מ'. 144 אורך הגדר הדרושה לגידור כל משטחי הפרחים הוא . א מהו אורך הגדר הדרוש לגידור משטח פרחים אחד? מ'. 15 אורך היתר בכל משולש הוא . ב מ׳ את אורך אחד הניצבים במשולש, והביעו באמצעותו את אורך x סמנו ב- הניצב השני. . ג מצאו את אורכי הניצבים של המשולש ישר-הזווית. . ד בין כל שני משולשים יש פתח כניסה. מאורך הניצב הקצר של המשולש ישר-הזווית. מצאו את רוחב הפתח. 20% רוחב כל פתח הוא x C D 7 A B 15 פתח פתח פתח פתח
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=