״מתמטיקה לכיתה ט׳ - סדרת מעוף״,חוברת זו, בשילוב הספר יח״ל. 4 יאפשרו להגדיל את מספר התלמידים המיועדים ללמוד ברמת החוברת ניתנת לשילוב בכל ספר לימוד לכיתה ט׳. אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ יח״ל 4 לתלמידים המיועדים ללמוד ברמת
״מתמטיקה לכיתה ט׳ - סדרת מעוף״,חוברת זו, בשילוב הספר יח״ל. 4 יאפשרו להגדיל את מספר התלמידים המיועדים ללמוד ברמת החוברת ניתנת לשילוב בכל ספר לימוד לכיתה ט׳. אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ יח״ל 4 לתלמידים המיועדים ללמוד ברמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה יח"ל. לפיכך הכנו חוברת 4 משרד החינוך שם לו למטרה להגדיל את מספר התלמידים שילמדו מתמטיקה ברמת זו כדי לסייע ביישום המטרה. חוברת זו, בשילוב הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – סדרת מעוף", מאגדים את כל החומר הנדרש בכיתה ט' עבור יח"ל - בעקבות השינויים בתוכנית הלימודים בחטיבת הביניים ובחטיבה 4 התלמידים המיועדים ללמוד ברמת העליונה. יח"ל, ולאפשר גם לתלמידים 4 החוברת הוכנה במטרה להגדיל את מספר התלמידים המיועדים ללמוד ברמת יח"ל. 4 יח"ל להשתלב ברמת 3 החזקים ברמת הלימוד באמצעות הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – סדרת מעוף", בשילוב חוברת זו, מאפשר לימוד מדורג יח"ל. 4 וידידותי, שיוביל תלמידים רבים להצלחה בלימודי המתמטיקה ברמת בלימוד הגיאומטריה התמקדנו בתרגילים בסיסיים עם מספר שלבים מועט ובתרגילים במערכת צירים, בהתאם לדרישות משרד החינוך. אנו ממליצים ללמד כל נושא בחוברת בהמשך ללימוד הנושא המקביל לו המופיע בספר "מתמטיקה לכיתה ט' – סדרת מעוף". תודתנו נתונה לטלי רואש וניצה פיינרו, שהשתתפו בהכנת חומרי הלמידה שבחוברת. תקוותנו שחוברת זו תסייע למורים בעבודתם ותוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים טכניקה אלגברית – נוסחאות הכפל 1. .................................................................................................................................. נוסחאות הכפל 2. .................................................................................................................................. פירוק לגורמים 4. ............................................................................................. צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים 5. ................................................................................................................... משוואות עם נעלם במכנה 7. ............................................................................................................................................ תשובות הפונקציה הריבועית 9................................................................ ) (הזזות אופקיות a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 פונקציה מהצורה 13............................................................ ) (ייצוג קדקודי a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 + k פונקציה מהצורה 16................................................................ פונקציה ריבועית בייצוגים שונים: קדקודי, סטנדרטי ומכפלה 20............................................................................................................................................ תשובות משוואות, מערכות משוואות ואי – שוויונות ריבועיים 24............................................................................................................................ משוואות ריבועיות 25 ......................................................................................................... מערכות משוואות ממעלה שנייה 26...................................................................................................................... אי – שוויונות ריבועיים 28............................................................................................................................................ תשובות 29............................................................................................................. מגרף לתכונות ובחזרה 48............................................................................................................................................ תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © גיאומטריה – תרגילי הוכחה בסיסיים ותרגילים במערכת צירים 56....................................................................................... משולש שווה - שוקיים ומשולש - שווה צלעות 64.............................................................................................................................................. דלתון 69................................................................................................................................ ישרים מקבילים 73............................................................................................................................................... טרפז 79.......................................................................................................................................... מקבילית 84................................................................................................................................................ מלבן 89............................................................................................................................................... מעוין 94............................................................................................................................................... ריבוע משולש ישר - זווית 98.................................................................................................. תיכון ליתר במשולש ישר - זווית 100......................................................................................... 30° משולש ישר - זווית שבו זווית בת משולשים 104............................................................................................................. זווית חיצונית למשולש 106.............................................................................................. הקשר בין צלעות לזוויות במשולש 108......................................................................................................... הקשר בין צלעות במשולש 110.............................................................................................................. משפט החפיפה הרביעי 114..................................................................................................................... קטע אמצעים במשולש 118........................................................................................................................ קטע אמצעים בטרפז 121................................................................................................................. ארגז הכלים בגיאומטריה
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © טכניקה אלגברית - נוסחאות הכפל - ט׳ מעוף חלק א׳) 117 ׳ (המשך עמ .א נוסחאות הכפל • נוסחאות הכפל (a – b)(a + b) = a2 – b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 דוגמאות א. (x – 6)(x + 6) = x2 – 62 = x2 – 36 ב. (x + 4)2 = x2 + 2 · x · 4 + 42 = x2 + 8x + 16 ג. (x – 6)2 = x2 – 2 · x · 6 + 62 = x2 – 12x + 36 . 1 פתחו סוגריים וכנסו איברים דומים. . א (x + 5)2 + (2x – 1)(x + 3) . ב (a – 3)(a + 3) + 2a(a – 5) . ג 3a(a – 2) + (a + 1)2 . ד (y + 4)2 + (y – 4)(4 + y) . ה (x + 5)(x – 2) + (x – 3)2 ו . (5x – 1)(5x + 1) + 3(x2 – 5x) . ז 5x(2x – 1) + (x – 1)2 . ח 2(x + 4)2 + (3x – 1)(x + 3) . ט (4x – 1)(4x + 1) – (x – 2)2 י . 4(x – 1 2)2 – 5x(2 – x) .א י (3x + 2)2 – (4x – 1)(1 + 4x) .ב י 3(4 – 5x)2 – (2x – 1)(3x – 5) . 2 פתרו את המשוואות הבאות. . א (2x + 5)(2x – 5) – 4(x – 2)2 = 3(2x – 5) . ב (2x+ 5)2 – 4(x – 1)2 = 3(4x – 1) . ג (4x – 3)(3 + 4x) – 7(5x – 2) = (4x – 5)2 . ד (x + 4)(x – 4) = (x – 1)2 + 7 . ה (2x – 3)(2x + 3) = 4x(x – 1) – 1 ו . (x + 3)2 + (x – 5)(1 – x) = 9x + 10 . ז (4 – 2x)2 = 2(3 – 8x) + 9 . ח 2(x – 4)2 – 2x(x + 1) = (x + 1)(x – 1) – 18x + 29 . ט 3(x + 2)(x – 2) + 4(x – 1) = 2(x + 1)2 – 2 י . (2x – 1)2 + 3(x + 2) – 1 = 4(x + 3)(x – 1) .א י (2 – 5x)2 + (3x – 1)(2 – 5x) = 2(5x + 1)(x – 3) + 3x .ב י (4x – 1)2 – (5x – 3)(5x + 3) = 4(1 – 2x) – 3
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 3 .x · y = 20 , x2 + y2 = 70 נתון: חשבו את ערך הביטויים הבאים: y ו - x בלי למצוא את 1) ( (x + y)2 2) ( (x – y)2 . 4 .a – b = 7 , ab = 18 נתון: חשבו את ערך הביטויים הבאים: b ו - a בלי למצוא את 1) ( (a + b)2 2) ( a + b 3) ( a2 – b2 .ב פירוק לגורמים • הוצאת גורם משותף דוגמאות א. 7x + 7y = 7(x+y) ב. 6a + 18ab + 30ab2 = 6a(1 + 3b + 5b2) • (כלומר: הצגת הביטוי הנתון בצורת מכפלה). לשם כך מתחילים פירוק לגורמים בעזרת נוסחאות הכפל מהביטויים המוצגים כסכום ו/או הפרש, ומגיעים להצגתם כמכפלה. a –b = (a–b)(a+b) 2 2 הביטוי רשום הביטוי שצריך כמכפלת גורמים לפרק לגורמים a +2ab+b = (a+b) 2 2 2 הביטוי רשום הביטוי שצריך כמכפלת גורמים לפרק לגורמים a –2ab+b = (a–b) 2 2 2 הביטוי רשום הביטוי שצריך כמכפלת גורמים לפרק לגורמים דוגמאות ג. x2 – 25 = x2 – 52 = (x – 5) (x + 5) ד. x2 + 10x + 25 = x2 + 10x + 52 = (x + 5)2 ה. x2 – 6x + 9 = x2 – 6x + 32 = (x – 3)2 • .x2 + bx + c פירוק לגורמים של הטרינום .c כסכום של שני מספרים שלמים, שמכפלתם שווה ל- b נרשום את המקדם דוגמאות ו. x2 + 8x + 15 = x2 + 3x + 5x + 15 = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5) 8x ז. x2 – 6x – 40 = x2 – 10x + 4x – 40 = x(x – 10) + 4(x – 10) = (x – 10)(x + 4) –6x ח. x2 – 5x – 6 = x2 – 6x + x – 6 = x(x – 6) + 1(x – 6) = (x – 6)(x + 1) –5x * *
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 5 פרקו לגורמים באמצעות הוצאת גורם משותף. . א 6x – 6y . ב 8 – 12y . ג 3 – 6y2 – 12y . ד x2 – 6x . ה 5x3 + 15x2 ו . 12x3 – 8x2 – 2x . 6 פרקו לגורמים באמצעות נוסחאות הכפל. (בסעיפים יא-טו הוציאו תחילה גורם משותף.) . א x2 – 9 . ב x2 + 10x + 25 . ג y2 – 6y + 9 . ד 1 – a2 . ה 16 + 8y + y2 ו . 1 – 2x + x2 . ז 25y2 – 49 . ח x2 + 10ax + 25a2 . ט 36a2 – 121 י . 9a2 – 30ay + 25y2 .א י x3 – 16x .ב י 2x2 – 20x + 50 .ג י ax2 + 12ax + 36a .ד י 5x3 – 20x2 + 20x .ו ט 8 – 50a2 7 . פרקו לגורמים את הטרינומים הריבועיים הבאים. (בסעיפים יא-טו הוציאו תחילה גורם משותף.) . א x2 + 8x + 15 . ב x2 – 9x + 18 . ג a2 + 4a + 3 . ד y2 – 5y + 6 . ה a2 + 2a – 8 ו . y2 – 4y – 5 . ז x2 – x – 6 . ח y2 + y – 20 . ט x2 – 3x – 18 י . y2 – 7y + 10 .א י 2x2 + 18x + 40 .ב י 5a2 + 20a + 20 .ג י a3 – 12a2 + 20a .ד י 3y2 – 6y – 24 .ו ט x3 – 13x2 – 30x . 8 פרקו לגורמים את הביטויים הבאים. . א 9 – x2 . ב x2 – 12x + 36 . ג x2 + 7x + 12 . ד 25 + 10a + a2 . ה 2x2 – 32 ו . 3x2 + 12x + 12 . ז x3 – 14x2 + 49x . ח a3 – 2a2 – 3a . ט x2 – 7x – 8 י . 9x2 – 25 .א י x2 – 10x – 24 .ב י 12a – 27ab2 .ג י 4b2 – 28ab + 49a2 .ד י 2x2 – 2x – 12 .ו ט 3a3 – 30a2 + 75a 9 . פתרו את המשוואות הבאות. . א x2 – 16 = 0 . ב x2 – 4x = 0 . ג x2 – 4x + 4 = 0 . ד x2 + 10x + 25 = 0 . ה 18 – 2x2 = 0 ו . x3 – 6x2 + 9x = 0 . ז x3 – x = 0 . ח 2x2 + 28x + 98 = 0 . ט 5x4 – 20x2 = 0 י . 3x4 – 27x2 = 0 .א י x2 – 2x = 15 .ב י x2 – 2x = –1 .ג י x2 + 10x = –16 .ד י 3x2 – 6x = 24 .ו ט 2x2 + 4x = 48
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 10 . פתרו את המשוואות הבאות. . א x(x – 3) = 49 – 3x . ב (x + 5)2 = 8x + 24 . ג (x – 3)2 + 3x(x – 4) = –6x . ד (x + 4)2 = 6x + 24 . ה (x – 5)2 = 3(x – 2) + 31 ו . (2x – 3)2 – 3x(x – 1) = 1 . ז (3x + 1)2 = 8x2 + 3x – 1 . ח (2x – 1)2 = 3x2 – 4x – 9 . ט (2x – 5)2 = 3x(2 – x) + 18 – 12x י . (3x + 1)2 + 24 = 4x(2x – 1) .א י (4x – 1)(4x + 1) – 8(x – 3)2 = 16(x – 1) – 57 .ב י (2x + 5)2 – x(2x – 3) = x2 + 21x + 40 .ג צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים • כלל הכפל בשברים. (b ≠ 0 , d ≠0) a b c d a c b d ⋅ = ⋅ ⋅ דוגמה א. = = + + + + + + · x 3 x –4 3x 6 x –9 x 3 (x–2)(x 2 ) · 3(x 2 ) (x–3)(x 3) 3 (x–2)(x–3) 2 2 .x ≠ ± 2 , ± 3 תחום ההצבה: • כלל החילוק בשברים. (b ≠ 0 , d ≠0 , c ≠0) a b c d a b d c a d b c : = ⋅ = ⋅ ⋅ דוגמה ב. = = = + + : · · 2x–8 25–x 5x–20 15–3x 2x–8 25–x 15–3x 5x–20 2(x–4 ) (5–x )(5 x) 3(5–x ) 5(x–4 ) 6 5(5 x) 2 2 .x ≠ ± 5 , 4 תחום ההצבה: . 11 רשמו את תחומי ההצבה, וצמצמו את השברים הבאים. . א 2x–6 8 . ב 3x x –2x 2 . ג x –16 x 4 2 + . ד x 6 x 12x 36 2 + + + . ה a –10a 25 a–5 2 + ו . x x x 2 8 12 2 − + − . ז y 5 y 9y 20 2 + + + . ח x –36 2x 12 2 + . ט a –2a 1 a –a 2 2 + י . 6x–12 x –9x 14 2 + .א י 28 4y y 14y 49 2 + + + .ב י –x 4x–4 –x 2 2+ + .ג י x –2x–8 8–2x 2 .ד י 9–y y –6y 9 2 2 + .ו ט a 10a 25 a 6a 5 2 2 + + + + .ז ט 2x –2 x –2x 1 2 2 + .ז י x 4x 4x –2x –4x 3 2 2 + + .ח י x –4x x –3x 2 3 2 + .ט י 5y–20 y –8y 16y 3 2+ . כ + + + 64 16x x x 7x–8 2 2 .א כ 1–6a 9a 5–15a 2 + .ב כ 4a 20a 25a 4a –25 3 2 2 + + .ג כ 2x2–32 4x−x2 .ד כ 2x –10x 8x 3x –48 3 2 2 +
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 12 רשמו את תחומי ההצבה, וצמצמו את השברים הבאים. . א x x x + ⋅ 2 4 8 2 . ב 9 5 3 3 4 a a a ⋅ − . ג 2 3 8 2 x a x + : . ד 6 4 3 6 2 y y y : − . ה 5 12 10 4 2 2 y a y a : ו . 10 25 4 5 4 2 a b a b : . ז x x x x 2 8 2 16 6 2 4 − + ⋅ . ח a a a a 2 5 6 1 6 2 12 − − + − ⋅ . ט 8 3 6 2 5 10 2 x x x x − − : י . x x x x x x 2 2 4 6 4 18 12 + + + − ⋅ .א י 5 16 20 3 12 2 2 a a a a − + : .ב י 6 24 3 3 9 4 8 2 2 2 x x x x x − + − ⋅ .ג י x x x x x 2 3 2 10 25 4 3 15 12 + + + : .ד י a a a a a 2 2 4 8 2 1 − − + ⋅ .ו ט 2 2 5 4 4 1 6 15 2 2 x x x x x x − + − + + : .ז ט x x x x x x 2 2 2 3 9 4 12 6 9 8 − − + + : .ז י 4 28 9 14 5 3 6 2 2 3 x x x x x x + + + + : .ח י x x x x x 2 4 3 4 3 4 3 2 6 + + + ⋅ .ט י 4 2 2 14 5 10 5 14 2 2 x x x x x x + − + − − : . כ 3 48 6 8 4 4 4 2 2 2 2 x x x x x x x − + + + + − ⋅ .א כ x x x x x x x x 2 2 2 2 2 1 4 4 2 2 − + − + + − − − : .ב כ x x x x x x x 2 2 2 2 3 28 2 98 14 49 8 16 − − − + + + + ⋅ .ג כ 18 2 8 15 10 25 3 2 2 2 2 − + + + + − ⋅ x x x x x x x .ד כ x x x x x x x x 2 2 3 3 2 6 8 18 81 4 9 − + + + − + : .ד משוואות עם נעלם במכנה כדי לפתור משוואות, הכוללות נעלם במכנה, צריך לבצע את הפעולות הבאות: . 1 נרשום את תחום ההצבה. לשם כך יש לפרק (במידת צורך) את המכנים לגורמים (באמצעות הוצאת גורם משותף, נוסחאות הכפל ופירוק של טרינום), ולקבוע עבור איזה ערך של הנעלם המכנה מתאפס. ערכים אלה של הנעלם אינם בתחום ההצבה. . 2 נמצא את המכנה המשותף לכל המכנים המופיעים בתרגיל. . 3 נכפול את שני אגפי המשוואה במכנה המשותף, ונפתור את המשוואה. דוגמה 0 0 10 x –9 2 x 3 10 (x–3)(x 3) 2 x 3 2 + = ⇓ + = + + +
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 0 / (x–3)(x 3) 10 2(x–3) 0 10 2x–6 0 2x 4 0 2x –4 x –2 1 10 (x–3)(x 3) x 3 2 x 3 / / / (x–3)(x 3) + = + + = + = + = = = + − + + 10 +2(x – 3) = 0 10 +2x – 6 = 0 ⇒ 2x + 4 = 0 ⇒ 2x = –4 ⇒ x = –2 נמצא את תחום ההצבה: x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 , x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ –3 .x ≠ ±3 תחום ההצבה: שייך לתחום ההצבה, ולכן הוא פתרון המשוואה. x = –2 חשוב לבדוק את נכונות הפתרון באמצעות הצבתו במשוואה המקורית (בדקו זאת). . 13 פתרו את המשוואות הבאות. ודאו שהפתרונות בתחום ההצבה. . א x x x 2 7 12 2 8 0 + + + = . ב x x x 2 2 12 36 36 0 + + − = . ג x x x x 2 2 6 16 16 64 0 + − + + = . ד x x x x 2 2 10 24 8 16 0 − + − + = . ה x x x x 2 2 13 30 2 0 − − + = . ו 9 30 25 6 10 2 0 x x x + + + = . ז . ח 3x+18 x2+4x–12 : x–1 x2–4 =4 . ט x x x x x x + + − − + = 5 3 5 6 3 2 2 0 . י x x+ + = 1 1 3 2 .אי x x x + − + = 2 2 1 1 .ב י 1 1 3 2 3 3 2x x x x x + + − + = .ג י 1 6 9 5 9 2 2 0 x x x + + + − = .ד י − + + + − + = 1 4 2 8 16 2 16 2 2 x x x x .וט 1 2 7 3 6 4 4 2 x x x − − + − − = .זט 3 x-5 + 1 2x+10 =4x+5 x2-25 .ז י 1 1 3 5 5 2 1 2 x x x − + − − = .חי 1 4 3 2 9 1 2 2 2 2 x x x x − + + − − = .טי 2 4 4 1 2 4 2 4 2 2 x x x x + + + − − = . כ x x x x x x x 2 2 2 2 2 8 18 16 2 8 − + − + − − = .אכ x x x x x x − − + + + − − = 1 8 16 2 3 2 32 2 4 2 2 .בכ x x x x x x x x + + − − + − − − + = 5 2 4 4 5 3 2 2 2 2 .ג כ 2 2 3 2 2 1 4 1 2 2 x x x x x x − − + + − + = .דכ x2–2x–8 3 · 2x+8 x2–16 =x+2 10 3 2 6 5 6 6 4 3 2 2 2 + + + + + + + + + = x x x x x x x x
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - טכניקה אלגברית נוסחאות כפל . 1 4a2 – 4a + 1 ג) 3a2 – 10a – 9 ב) 3x2 + 15x + 22 א) 28x2 – 15x – 1 ו) 2x2 – 3x – 1 ה) 2y2 + 8y ד) 15x2 + 4x – 5 ט) 5x2 + 24x + 29 ח) 11x2 – 7x + 1 ז) 69x2 – 107x + 43 יב) −7x2 + 12x + 5 יא) 9x2 – 14x + 1 י) . 2 ±1 יב) −0.5 יא) 2 י) ±4 ט) ±2 ז) אין פתרון ח) 2 ו) 2 ה) 12 ד) 4 ג) −1.5 ב) 2.6 א) . 3 30 (2) 110 (1) . 4 ±77 (3) ±11 (2) 121 (1) פירוק לגורמים . 5 3(1 – 2y2 – 4y) ג) 4(2 – 3y) ב) 6(x – y)א) 2x(6x2 – 4x – 1) ו) 5x2 (x + 3) ה) x(x – 6) ד) . 6 (1 – x)2 ו) (4 + y)2 ה) (1 – a)(1 + a) ד) (y – 3)2 ג) (x + 5)2 ב) (x + 3)(x – 3) א) x(x – 4)(x + 4) יא) (3a – 5y)2 י) (6a – 11)(6a + 11) ט) (x + 5a)2 ח) (5y – 7) (5y + 7) ז) 2(2 – 5a)(2 + 5a) טו) 5x(x – 2)2 יד) a(x + 6)2 יג) 2(x – 5)2 יב) . 7 (a + 4)(a – 2) ה) (y – 2)(y – 3) ד) (a + 1)(a + 3) ג) (x – 6)(x – 3) ב) (x + 3)(x + 5) א) (y – 2)(y – 5) י) (x – 6)(x + 3) ט) (y + 5) (y – 4) ח) (x – 3) (x + 2) ז) (y – 5)(y + 1) ו) x(x – 15)(x + 2) טו) 3(y – 4)(y + 2) יד) a(a – 2)(a – 10) יג) 5(a + 2)2 יב) 2(x + 5)(x + 4) יא) . 8 2(x – 4)(x + 4) ה) (5 + a)2 ד) (x + 4) (x + 3) ג) (x – 6)2 ב) (3 – x)(3 + x) א) (3x – 5)(3x + 5) י) (x + 1)(x – 8) ט) a(a – 3)(a + 1) ח) x(x – 7)2 ז) 3(x + 2)2 ו) 3a(a – 5)2 טו) 2(x – 3)(x + 2) יד) (2b – 7a)2 יג) 3a(2 – 3b)(2 + 3b) יב) (x – 12)(x + 2) יא) . 9 0 , ±3 י) 0 , ±2 ט) –7 ח) 0 , ±1 ז) 0 , 3 ו) ±3 ה) –5 ד) 2 ג) 0 , 4 ב) ±4 א) –6 , 4 טו) 4 , –2 יד) –8 , –2 יג) 1 יב) 5 , –3 יא) . 10 –5 י) 1 ח) אין פתרון ט) –2 , –1 ז) 8 , 1 ו) 13 , 0 ה) –4 , 2 ד) 1.5 ג) –1 ב) ±7 א) –5 , 3 יב) –4 , 0 יא) צמצום, כפל וחילוק של שברים אלגבריים . 11 a ≠ 5 ; a – 5 ה) x ≠ −6 ; 1 x 6+ ד) x ≠ −4 ; x – 4 ג) x ≠ 2 , 0 ; 3 x 2− ב) x ; כל x−3 4 א) x ≠ 2 , 7 ; 6 x 7− י) a ≠ 0 , 1 ; a a −1 ט) x ≠ −6 ; x−6 2 ח) y ≠ −4 , −5 ; 1 y 4+ ז) x ≠ 2 ; x − 6 ו) a ≠ −1 , −5 ; a a + + 5 1 טו) y ≠ 3 ; − − − y y 3 3 יד) x ≠ 4 ; x+ − 2 2 יג) x ≠ 2 ; x – 2 ; יב) y ≠ −7 ; 4 y 7+ יא) y ≠ 0 , 4 ; 5 y(y 4) − יט) x ≠ 1 , 2 ; x x x ( ) + − 2 1 יח) x ≠ 0 , −2 ; x+ − 2 2 יז) x ≠ 1 ; 2 1 1 (x ) x + − טז) x ≠ 0 , 4 ; − + 2(x 4) x כג) a ≠ ± 5 2 ; a a a ( ) 2 5 2 5 + − כב) a ≠ 1 3 ; 1 3 5 − a כא) x ≠ 1 , −8 ; x x + − 8 1 כ) x ≠ ±4 ; 2 1 3 4 x x x ( ) ( ) − + כד)
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות . 12 a ≠ −3 , x ≠ 0 ; 1 4x(a 3) + ג) a ≠ 0 ; 3a(a – 3) ב) x ≠ 0 ; 2x(x + 2) א) x ≠ 0 , −4 ; x x −4 3 6 ז) b ≠ 0 , a ≠ 0 ; a b 3 2 ו) a ≠ 0 , y ≠ 0 ; y 6a ה) y ≠ 0 , 6 ; 2y2(6 – y)ד) a ≠ 4 , −4 , 0 ; 3 4 4 a (a ) − יא) x ≠ − 2 3 , 0 , 1 ; 3 4 1 (x ) x + − י) x ≠ 2 , 0 ; 20 3x ט) a ≠ −1 , 6 ; 3 ח) a ≠ 0 , 1 ; 2 1 2a a− יד) x ≠ 0 , −5 ; x x +5 יג) x ≠ −1 , 0 , 2 ; 9 2 2 1 x x x ( ) ( ) + + יב) x ≠ 0 , −2 , −7 ; 12 5 2x יז) x ≠ 0 , ±3 ; 2 3 2x x+ טז) x ≠ − 5 2 , 1 2 ; 3 2 1 x x− טו) x ≠ −2 , ± 4 , 0 ; 3(x 2) x + כ) x ≠ 0 , 7 , −2 ; 2 1 5 x x + יט) x ≠ 0 , −3 ; 3 1 8 (x ) x + יח) x ≠ 0 , ±3 , −5 ; − 2(x 5) x + כג) x ≠ ±7 , −4 ; x x + + 7 2( 4) כב) x ≠ ±2 , ± 1 ; ( )( ) ( )( ) x x x x − + − + 1 1 2 2 כא) x ≠ −9 , 0 , ±2 ; x x x x ( ) ( )( ) − + + 4 9 2 כד) משוואות עם נעלם במכנה . 13 1 , 5 ט) 10 ח) −2 ז) ו) אין פתרון 15 ה) 6 ד) 2 ג) ב) אין פתרון −3 א) −7 יח) 4 יז) 15 טז) 8 טו) 0 יד) −4.5 יג) 4 יב) יא) אין פתרון −2.5 י) −4 כד) 1.8 כג) 4 כב) −44 כא) 6 כ) −6 יט)
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הפונקציה הריבועית - ט׳ מעוף חלק ב׳) 41 ׳ (המשך עמ .א (הזזות אופקיות) a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 פונקציה מהצורה משימה . א סרטטו במערכת צירים אחת את הגרפים של הפונקציות הבאות: .h(x) = 2(x – 3)2 , g(x) = (x – 3)2 , f(x) = 2x 2 לצורך בניית הגרפים של הפונקציות היעזרו בטבלאות הערכים החלקיות הבאות או בתוכנה גרפית. 1 2 3 0 x –3 –2 –1 f(x) =2x2 → f(x) 1 2 3 4 5 6 0 x g(x) = (x – 3)2 → g(x) 1 2 3 4 5 6 0 x h(x) = 2(x – 3)2 → h(x) 0 x –6–5–4–3–2–1 t(x) = 2(x + 3)2 → t(x) . ב .(4) - (1) על סמך התבוננות בייצוג האלגברי, בטבלאות ובגרפים של הפונקציות ענו על שאלות בחרו את האפשרויות המתאימות שבתחתית הסעיף. 1) ( ?f(x) = 2x2 מגרף הפונקציה h(x) = 2(x – 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה 2) ( ?g(x) = (x – 3)2 מגרף הפונקציה h(x) = 2(x – 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה 3) ( ?y = x2 מגרף הפונקציה h(x) = 2(x – 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה 4) ( ?y = x2 מגרף הפונקציה t(x) = 2(x + 3)2 כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה / 3 ולאחריה הזזה ימינה ב- 2 / מתיחה אנכית פי 3 / הזזה ימינה ב- 2 האפשרויות הן: מתיחה אנכית פי .3 והזזה שמאלה ב- 2 מתיחה אנכית פי . ג ?h(x) = 2 (x – 3)2 מהו ציר הסימטריה, ומהם שיעורי הקדקוד של גרף הפונקציה . ד ?t(x) = 2 (x + 3)2 מהו ציר הסימטריה, ומהם שיעורי הקדקוד של גרף הפונקציה נסכם • ,(a ≠ 0) y = ax2 מתקבל מהזזה של גרף הפונקציה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 גרף הפונקציה .פרבולהולכן גם הוא נקרא • (a ≠ 0) y = ax2 מתקבל על-ידי הזזה אופקית של גרף הפונקציה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 גרף הפונקציה :p יחידות בהתאם לסימן של |p| ימינה או שמאלה ב- שלילי, הגרף מוזז שמאלה. p חיובי, הגרף מוזז ימינה; ואם p אם
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • .x = p , והייצוג האלגברי שלו הוא y ציר הסימטריה הוא ישר המקביל לציר ה - • ,)a < 0 (או נקודת המקסימום כאשר a > 0 ). זו נקודת המינימום כאשר p , 0 שיעורי נקודת הקדקוד הם ( כאשר זו נקודת מקסימום). y< 0 (או y > 0 מתקיים p השונה מ- x כי עבור כל • חיובי, הפרבולה עם נקודת מינימום, וגרף הפונקציה נראה . a אם המקדם שלילי, הפרבולה עם נקודת מקסימום, וגרף הפונקציה נראה . a אם המקדם • גדול יותר, הפרבולה ״צרה״ יותר. |a| ככל ש- .y = 2(x – p)2 ״צרה״ יותר מהפרבולה y = 3(x – p)2 למשל: הפרבולה דוגמאות a < 0 a > 0 y x y = a(x + 8)2 (p = –8) y = ax2 y = a(x –8)2 (p = 8) 8 –8 y x y = a(x + 8)2 )p = –8( y = ax2 y = a(x –8)2 )p = 8( 8 –8 . 1 לפניכם סקיצות של גרפים של חמש פונקציות. רשמו ליד כל פונקציה את האות שמופיעה ליד הסקיצה המתאימה לה. מה המילה שקיבלתם? האות הייצוג האלגברי של הפונקציה _ ________ f(x) = (x – 50)2 _ ________ g(x) = x2 + 50 _ ________ h(x) = x2 – 50 _ ________ t(x) = (x + 50)2 _ ________ r(x) = x2 . 2 לפניכם סקיצות, שנוצרו על-ידי הזזת גרף הפונקציה בצורה אנכית או בצורה אופקית. y = x2 ידועים שיעורי הקדקוד של כל אחת מהפונקציות. רשמו את הייצוג האלגברי של כל אחת מהן. . א f(x) . ב g(x) . ג h(x) . ד t(x) צ ו ן י מ y x y x t(x) f(x) (−12,0) (0,12) (0,−3) (9,0) h(x) g(x)
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 3 העתיקו את הטבלה למחברתכם והשוו בין התכונות של שתי הפונקציות. הייצוג האלגברי של הפונקציה y = (x – 5)2 y = (x + 5)2 (1) סקיצה (2) שיעורי קדקוד הפרבולה (3) סוג הקדקוד מינימום / מקסימום (4) ציר הסימטריה (5) תחום הירידה (6) תחום העלייה (7) נקודות האפס של הפונקציה (8) תחום החיוביות (9) תחום השליליות . 4 לפניכם סקיצות של הגרפים של הפונקציות: ,t(x) = 2(x – 5)2 , h(x) = (x – 5) 2 ,g(x) = 2x2 , f(x) = x 2 .p(x) = 2 (x + 4) 2 התאימו לכל פונקציה את הסקיצה שלה. הסבירו. . 5 לפניכם סקיצות של הגרפים של הפונקציות: , g(x) = –2x2 , f(x) = –2(x – 4) 2 ,t(x) = –2(x + 3)2 , h(x) = –2x2 – 4 .p(x) = – (x + 3)2 התאימו לכל פונקציה את הסקיצה שלה. הסבירו. y x (2) (1)(4) (3) (5) y x (1) (4) (3) (2) (5)
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 6 לפניכם סקיצות של הגרפים של הפונקציות: .y = 5x2 + 4 , y = 5 (x + 4)2 , y = 5x2 . א התאימו לכל פונקציה את הסקיצה שלה. . ב השוו בין התכונות של הפונקציות. הייצוג האלגברי של הפונקציה y = 5x2 y = 5x2 + 4 y = 5(x + 4)2 (1) שיעורי קדקוד הפרבולה (2) קדקוד הפרבולה מינימום / מקסימום (3) ציר הסימטריה (4) תחום הירידה (5) תחום העלייה (6) y נקודת החיתוך עם ציר ה- (7) נקודת האפס של הפונקציה (8) תחום החיוביות (9) תחום השליליות 7 . לפניכם סקיצות של הגרפים של הפונקציות: .h(x) = –2x2 – 6 , g(x) = –2x2 , f(x) = –2 (x – 6)2 . א התאימו לכל פונקציה את הסקיצה שלה. . ב השוו בין התכונות של הפונקציות. הייצוג האלגברי של הפונקציה g(x)=–2x2 f(x)=–2(x – 6)2 h(x) = –2x2 –6 (1) שיעורי קדקוד הפרבולה (2) קדקוד הפרבולה מינימום / מקסימום (3) ציר הסימטריה (4) תחום הירידה (5) תחום העלייה (6) y- נקודת החיתוך עם ציר ה (7) נקודת האפס של הפונקציה (8) תחום החיוביות (9) תחום השליליות )1( )2( y x )3( )1( )3( )2( y x
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 8 .y = –3(x – 1)2 (2) y = 2(x + 1)2 (1) נתונות הפונקציות: לגבי כל פונקציה ענו על השאלות הבאות: . א מהם שיעורי קדקוד הפרבולה וסוגו? . ב מהו ציר הסימטריה? . ג ?y מהי נקודת החיתוך עם ציר ה - . ד סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה במערכת צירים. . ה מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה? ו . מהם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה? . ז רשמו דוגמה לייצוג אלגברי של פונקציה, שיש לה אותו קדקוד כמו לפונקציה הנתונה, אך הגרף שלה: ״צר״ יותר. (ii) ״רחב״ יותר. (i) . ח רשמו ייצוג אלגברי של פונקציה, שהגרף שלה הוא שיקוף של גרף הפונקציה הנתונה ביחס: .y לציר ה - (ii) .x לציר ה - (i) .ב (ייצוג קדקודי) a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 + k פונקציה מהצורה משימה . א .f(x) = 2 (x – 3)2 נתונה הפונקציה 1) ( מהו ציר הסימטריה של הפונקציה? 2) ( .f(x) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה . ב .g(x) = 2 (x – 3)2 + 5 נתונה הפונקציה 1) ( g(x), שערו כיצד ניתן לקבל את גרף הפונקציה g(x)בלי לסרטט את גרף הפונקציה .f(x) מגרף הפונקציה ?g(x)מהו ציר הסימטריה של גרף הפונקציה 2) ( .g(x)סרטטו במערכת הצירים שבסעיף א׳ סקיצה של גרף הפונקציה . ג .t(x) = –3x2 לפניכם גרף הפונקציה יחידות, 4 הוזז בצורה אופקית שמאלה ב - t(x)גרף הפונקציה .h(x) יחידות, והתקבלה הפונקציה 7 לאחר מכן כלפי מעלה ב - ?h(x)מהו הייצוג האלגברי של הפונקציה y t(x) h(x) 7 יח' יח' 4 x
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © נסכם • של הפונקציה, ייצוג קדקודי נקרא (a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k ייצוג הפונקציה באמצעות הביטוי .(p, k) כי קל לזהות מתוך הביטוי את הקדקוד • ,(a ≠ 0) y = ax2 מתקבל מהזזה של גרף הפונקציה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k גרף הפונקציה .פרבולהולכן גם הוא נקרא • מתקבל משילוב של הזזה אופקית והזזה אנכית של גרף (a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k גרף הפונקציה באופן הבא:(a ≠ 0) y = ax2 הפונקציה ✔ שלילי, הזזה שמאלה. p חיובי, הזזה ימינה; אם p יחידות. אם |p| הזזה אופקית ימינה או שמאלה ב - ✔ חיובי, הזזה כלפי מעלה; k יחידות. אם |k| הזזה אנכית כלפי מעלה או כלפי מטה ב - שלילי, הזזה כלפי מטה. k אם • .x = p ציר הסימטריה הוא • ,)a < 0 (או נקודת המקסימום כאשר a > 0 ). זו נקודת המינימום כאשר p , k שיעורי נקודת הקדקוד הם ( כאשר זו נקודת מקסימום). y < k (או y > k מתקיים p השונה מ- x כי עבור כל • גדול יותר, הפרבולה ״צרה״ יותר. |a| ככל ש- .y = 2(x – p)2 + k ״צרה״ יותר מהפרבולה y = 3(x – p)2 + k למשל: הפרבולה דוגמה y = 2 (x – 5)2 – 8 הפונקציה 9 . לפניכם סקיצות של הגרפים של שלוש פונקציות: . א התאימו לכל פונקציה את הסקיצה שלה. a = 2 , p = 5 , k = –8 ✔ מינימום (5 , −8) שיעורי הקדקוד הם: ✔ x = 5 ציר הסימטריה: ✔ נקודות האפס: 2(x–5)2 –8=0 /+8 2(x–5)2 =8 / :2 (x–5)2 =4 ↙ ↘ x–5=–2 x–5=2 x=3 x=7 או או y x יח׳ 5 8 יח׳ y = 2(x − 5)2 y = 2(x − 5)2 − 8 y = 2x2 y III I II x f(x) x g(x) (x–10) h(x) (x–10) 8 1 4 1 4 1 4 2 2 2 = = = +
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב רשמו לגבי כל אחת מהפונקציות את: 1) ( ציר הסימטריה. 2) ( שיעורי הקדקוד וסוגו. 3) ( .y נקודת החיתוך עם ציר ה - 4) ( תחומי עלייה וירידה. 5) ( תחומי חיוביות ושליליות. 10 . לפניכם סקיצות של הגרפים של ארבע פונקציות: f(x) = –2x2 g(x) = –2 (x + 7)2 h(x) = 2x2 + 1 t(x) = –2 (x + 7)2 – 6 . א התאימו לכל פונקציה את הסקיצה שלה. . ב רשמו לגבי כל אחת מהפונקציות את: 1) ( שיעורי הקדקוד וסוגו. 2) ( ציר הסימטריה. 3) ( נקודת האפס של הפונקציה (אם יש). 4) ( תחומי עלייה וירידה. 5) ( תחומי חיוביות ושליליות. . 11 פתרו את המשוואות הבאות. . א (x – 6)2 = 36 . ב (x + 5)2 = 0 . ג (x + 2)2 – 144 = 0 . ד (x – 1)2 + 81 = 0 . ה –3 (x – 1)2 = 0 ו . 3(x + 5)2 – 27 = 0 . 12 לפניכם סקיצות של הגרפים של שלוש פונקציות: y = 3x2 y = 3(x + 6)2 + 12 y = 3(x + 6)2 – 12 . א התאימו לכל סקיצה את הייצוג האלגברי שלה. . ב השוו בין התכונות של הפונקציות. הייצוג האלגברי של הפונקציה y = 3x2 y = 3(x + 6)2+12 y = 3(x + 6)2 – 12 (1) שיעורי הקדקוד וסוגו (2) ציר הסימטריה (3) תחום הירידה (4) תחום העלייה (5) y נקודת החיתוך עם ציר ה- (6) נקודות האפס של הפונקציה (7) תחום החיוביות (8) תחום השליליות y א ב ג ד x y h(x) g(x) f(x) x
16 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 13 .f(x) = –5 (x – 4)2 + 5 נתונה הפונקציה . א מצאו את קדקוד הפרבולה ואת תחומי העלייה והירידה שלה. . ב , ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות שלה. x מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה - . ג , אבל f(x) , שלגרף שלה יש אותו ציר סימטריה כמו לגרף הפונקציה g(x)רשמו ייצוג אלגברי של פונקציה יש לה נקודת מינימום, והגרף שלה ״רחב״ יותר. . ד .x ביחס לציר ה - f(x) , שהגרף שלה הוא שיקוף של גרף הפונקציה h(x)רשמו ייצוג אלגברי של פונקציה . ה , ומצאו את המרחק בין h(x) ו - f(x) סרטטו במערכת צירים אחת את הסקיצות של הגרפים של הפונקציות קדקודי הפרבולות. .ג פונקציה ריבועית בייצוגים שונים: קדקודי, סטנדרטי ומכפלה נסכם • (a ≠ 0) y = ax2 + bx + c כל פונקציה ריבועית ניתן להציג בצורה הסטנדרטית ; אך לא ניתן להציג כל פונקציה ריבועית בצורת המכפלה (a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k ובצורה הקדקודית , מכיוון שיש פונקציות ריבועיות, שלגרף שלהן אין נקודות אפס.(a ≠ 0) y = a (x – t) (x – r) • בהצגות הסטנדרטית, הקדקודית והכפלית של אותה פונקציה ריבועית הוא זהה. a המקדם , לפרבולה יש נקודת מינימום. a > 0 אם , לפרבולה יש נקודת מקסימום. a < 0 אם • :(a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k בייצוג הקדקודי ✔ .x = p ציר הסימטריה הוא ✔ .(p , k) שיעורי נקודת הקדקוד היתרון של הייצוג הקדקודי הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את ציר הסימטריה, את הקדקוד ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. • :(a ≠ 0) y = ax2 + bx + c בייצוג הסטנדרטי ✔ x=– b 2a ציר הסימטריה הוא ✔ שיעורי נקודת הקדקוד: x קדקוד = x – b 2a y קדקוד = בייצוג האלגברי x קדקוד מציבים את ✔ .(0 , c) היא y נקודת החיתוך עם ציר ה - .y היתרון של הייצוג הסטנדרטי הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את נקודת החיתוך עם ציר ה- • :(a ≠ 0) y = a (x – t) (x – r) בייצוג כמכפלה ✔ .(t , 0) ו - (r , 0) נקודות האפס הן ✔ . x= r+t 2 ציר הסימטריה הוא
17 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ✔ .x קדקוד = r+t 2 של הקדקוד הוא x שיעור ה - היתרון של הייצוג כמכפלה הוא שבאמצעותו ניתן לזהות את נקודות האפס ואת תחומי החיוביות והשליליות. • מעבר בין הייצוגים השונים של הפונקציה הריבועית. ייצוג קדקודי (a ≠ 0) y = a(x – p)2 + k ייצוג סטנדרטי (a ≠ 0) y = ax2 + bx + c ייצוג כמכפלה (a ≠ 0) y = a(x – t)(x – r) מציאת נקודות האפס (אם ניתן) אמצע הקטע בין נקודות האפס x קדקוד = (נציב למציאת )y שיעור ה- פירוק לגורמים (אם ניתן) פתיחת סוגריים וכינוס איברים פתיחת סוגריים וכינוס איברים x קדקוד = (נציב למציאת )y שיעור ה- x – b 2a . 14 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג הקדקודי באמצעות ייצוג סטנדרטי. (הדרכה: פתחו סוגריים וכנסו איברים.) . א y = (x – 9)2 – 81 . ב y = 5(x + 2)2 − 4 . ג y = –2(x – 4)2 + 4 . 15 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג כמכפלה באמצעות ייצוג סטנדרטי. (הדרכה: פתחו סוגריים וכנסו איברים.) . א y = (x + 5)(x – 3) . ב y = 3(x – 2)(x + 6) . ג y = –2(x – 1)(x – 5) . 16 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג כמכפלה באמצעות ייצוג קדקודי. דוגמה .y = –(x – 2)(x + 6) נתונה הפונקציה • .(–6 , 0) , (2 , 0) נקודות האפס הן: • x קדקוד = =− = − +6 2 2 2 p שיעורי הקדקוד הם: y קדקוד = –(–2 – 2)(–2 + 6) = 16 = k • a = –1 • y = a(x – p)2 + k = –1(x + 2)2 + 16 = –(x + 2)2 + 16 נציב בייצוג הקדקודי, ונקבל: . א y = (x – 5)(x – 1) . ב y = 2(x – 4)(x + 8) . ג y = –(x + 3)(x + 7)
18 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 17 . רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג הסטנדרטי באמצעות ייצוג קדקודי. דוגמה .y = x2 + 8x + 7 נתונה הפונקציה • .a = 1 , b = 8 , c = 7 • x קדקוד =− =− =− = b a p 2 8 2 4 שיעורי הקדקוד הם: • y קדקוד = (–4) 2 + 8 · (–4) + 7 = 16 – 32 + 7 = –9 = k • a = 1 • y = a(x – p)2 + k = 1(x + 4)2 – 9 = (x + 4)2 – 9 נציב בייצוג הקדקודי, ונקבל: . א y = x2 – 14x + 25 . ב y = 2x2 + 4x + 8 . ג y = –3x2 + 12x – 8 . 18 רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג הסטנדרטי באמצעות ייצוג כמכפלה (כאשר זה אפשרי). דוגמה .y = x2 + 17x + 30 נתונה הפונקציה ניעזר בפירוק לגורמים של טרינום ריבועי. .b = 17 , וסכומם c = 30 מספרים שמכפלתם 2 נחפש x2 + 17x + 30 = (x + 2)(x + 15) , ולכן: 15 ו- 2 המספרים הם: . א y = x2 + 10x + 9 . ב y = x2 – 2x – 15 . ג y = x2 – 9x + 14 19 . רשמו כל אחת מהפונקציות שבייצוג הקדקודי באמצעות ייצוג כמכפלה (כאשר זה אפשרי). דוגמה .y = (x – 2)2 – 9 נתונה הפונקציה נמצא את נקודות האפס של הפונקציה. (x – 2)2 – 9 = 0 (x – 2)2 = 9 x – 2 = 3 x = 5 x – 2 = −3 x = −1 y = 1(x – 5)(x + 1) = (x – 5)(x + 1) , ולכן ההצגה כמכפלה היא: a = 1 . א y = (x – 1)2 – 4 . ב y = (x – 5)2 – 16 . ג y = 2(x – 3)2 – 50
19 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 20 . בכל אחת מהשורות הוסיפו (אם אפשר) את ההצגות החסרות של אותה פונקציה. ייצוג סטנדרטי ייצוג כמכפלה ייצוג קדקודי א y = x2 – 2x – 8 ב y = –2 (x – 4)(x + 8) ג y = 3 (x – 4)2 – 12 ד y = x2 + 2x + 5 ה y = – (x + 3)2 + 16 ו y = (x – 4)(10 – x) ז y = 3x2 – 12x – 15 ח y = (x – 2)2 + 2 . 21 .y = x2 + 8x + 15 נתונה פונקציה בייצוג הסטנדרטי . א מצאו את הייצוג של הפונקציה כמכפלה. . ב .x מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה - . ג מצאו את שיעורי קדקוד הפרבולה בשתי דרכים. . ד סרטטו סקיצה של הפרבולה, וקבעו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה. . 22 .y = – (x – 5) (x + 1) נתונה הפונקציה בייצוג כמכפלה . א .x מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- . ב מצאו את שיעורי קדקוד הפרבולה. . ג .y מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- . ד על סמך הסעיפים הקודמים סרטטו סקיצה של הפרבולה. מהו הסוג של הפרבולה שהתקבלה? . ה .(a ≠ 0) y = ax2 + bx + c הציגו את הפונקציה הנתונה בייצוג הסטנדרטי ? מה הקשר של מקדם זה עם התוצאה שבסעיף ד'? a מהו המקדם ו . .(a ≠ 0) y = a (x – p)2 + k הציגו את הפונקציה בייצוג הקדקודי . ז קבעו את תחומי העלייה והירידה ואת תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה. . 23 נתונות הפונקציות הבאות: 1) ( y = (x – 4)2 – 9 2) ( y = 2 (x + 2)2 – 2 3) ( y = –3 (x – 5)2 + 12 לגבי כל אחת מהן: . א מצאו את נקודות האפס של הפונקציה. . ב .(a ≠ 0) y = a (x – t)(x – r) הציגו אותה על-פי הייצוג כמכפלה . ג מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה.
20 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות תשובות - הפונקציה הריבועית (הזזות אופקיות) a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 פונקציה מהצורה משימה ) א y x f(x) h(x) g(x) t(x) ) ב זהות. f(x) ו - h(x) ניתן לראות כי צורות הגרפים של הפונקציות (1) יחידות. 3 ימינה ב - f(x) הוא הזזה אופקית של גרף הפונקציה h(x)גרף הפונקציה אנו מסתמכים על הייצוג האלגברי, הטבלאות והגרפים של הפונקציות, שמהם ניתן ללמוד כי לכל .3 הגדול ממנו ב- x עבור h(x) שווה לערך הפונקציה f(x) ערך הפונקציה x 2) ( מתלכדים, וגרף הפונקציה g(x) ו - h(x). ניתן לראות כי קדקודי הפרבולות 2 מתיחה אנכית פי x ״צר״ יותר. אנו מסתמכים על הייצוג האלגברי של הפונקציות, שממנו ניתן ללמוד כי לכל h(x) ״צרה״ יותר מהפרבולה h(x), כלומר הפרבולה g(x) גדולים מערכי הפונקציה h(x)ערכי הפונקציה . ניתן ללמוד זאת גם מהגרפים של הפונקציות. זה מתקשר גם לנלמד לגבי הפונקציות g(x) גדול יותר, הפרבולה ״צרה״ יותר. |a| , שבהן מתקיים: ככל ש - (a ≠ 0) y = ax2 מהצורה , ולכן נקרא פרבולה. f(x) הוא הזזה אופקית של גרף הפונקציה h(x)גרף הפונקציה הוא פרבולה. g(x) = (x – 3)2 למדנו גם כי גרף הפונקציה .a = 1 ← g(x) = (x – 3)2 . בפונקציה a = 2 ← h(x) = 2 (x – 3)2 בפונקציה .g(x) ״צרה״ יותר מהפרבולה h(x), ולכן הפרבולה 2 > 1 3) ( (מתקבלת פרבולה ״צרה״ 2 פי y =x2 מתקבל ממתיחה אנכית של הפרבולה h(x)גרף הפונקציה יחידות. 3 יותר), והזזה של הפרבולה שהתקבלה בצורה אופקית ימינה ב- 4) ( , והזזה של הפרבולה 2 פי y = x2 מתקבל ממתיחה אנכית של הפרבולה t(x)גרף הפונקציה יחידות. 3 שהתקבלה בצורה אופקית שמאלה ב- ) ג .(3 , 0) , שיעורי הקדקוד הם x = 3 ציר הסימטריה הוא ) ד .(−3 , 0) , שיעורי הקדקוד הם x = −3 ציר הסימטריה הוא . 1 t(x) = (x + 12)2 ד) h(x) = x2 – 3 ג) g(x) = (x – 9)2 ב) f(x) = x2 + 12 א) .2 מצוין .3 הייצוג האלגברי של הפונקציה y = (x – 5)2 y = (x + 5)2 (1) סקיצה y x 5 y x –5 (2) שיעורי קדקוד הפרבולה (5 , 0) (–5 , 0) (3) מינימום/מקסימום מינימום מינימום (4) ציר הסימטריה x = 5 x = –5 (5) תחום הירידה x < 5 x < –5 (6) תחום העלייה x > 5 x > –5 (7) נקודות האפס של הפונקציה (5 , 0) (–5 , 0) (8) תחום החיוביות x ≠ 5 , x כל x ≠ –5 , x כל (9) תחום השליליות x אין x אין
21 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - אוסף נושאים במתמטיקה לכיתה ט׳ - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תשובות . 4 (5) ← p(x) ,(1) ← t(x) , (4) ← h(x) , (2) ← g(x) , (3) ← f(x) . 5 (5) ← p(x) ,(4) ← t(x) , (2) ← h(x) , (1) ← g(x) , (3) ← f(x) . 6 (3) ← y = 5x2 + 4 , (1) ← y = 5 (x + 4)2 , (2) ← y = 5x2 א) ב) הייצוג האלגברי של הפונקציה y = 5x2 y = 5x2 + 4 y = 5 (x + 4)2 (1) שיעורי קדקוד הפרבולה (0 , 0) (0 , 4) (–4 , 0) (2) קדקוד הפרבולה מינימום/מקסימום מינימום מינימום מינימום (3) ציר הסימטריה x = 0 x =0 x = –4 (4) תחום הירידה x < 0 x < 0 x < –4 (5) תחום העלייה x > 0 x > 0 x > –4 (6) y נקודת החיתוך עם ציר ה - (0 , 0) (0 , 4) (0 , 80) (7) נקודת האפס של הפונקציה (0 , 0) אין (–4 , 0) (8) תחום החיוביות x ≠ 0 ,x כל x כל x ≠ –4 ,x כל (9) תחום השליליות x אין x אין x אין . 7 (2) ← h(x) , (1) ← g(x) , (3) ← f(x) א) ב) הייצוג האלגברי של הפונקציה g(x) f(x) h(x) (1) שיעורי קדקוד הפרבולה (0 , 0) (6 , 0) (0 , –6) (2) קדקוד הפרבולה מינימום/מקסימום מקסימום מקסימום מקסימום (3) ציר הסימטריה x = 0 x = 6 x = 0 (4) תחום הירידה x > 0 x > 6 x > 0 (5) תחום העלייה x < 0 x < 6 x < 0 (6) y נקודת החיתוך עם ציר ה - (0 , 0) (0 , –72) (0 , –6) (7) נקודת האפס של הפונקציה (0 , 0) (6 , 0) אין (8) תחום החיוביות x אין x אין x אין (9) תחום השליליות x≠0 ,x כל x≠6 ,x כל x כל . 8 ד) סרטוט (0 , 2) ג) x = –1 ב) מינימום (–1 , 0) א) (1) x , שליליות: אין x ≠ –1 ,x ו) חיוביות: כל x < –1 , ירידה: x > –1 ה) עלייה: y = 3 (x + 1)2 למשל: (ii) y = (x + 1)2 למשל: (i)ז) y = 2 (x – 1)2 (ii) y = –2 (x + 1)2 (i) ח) 2) ( ד) סרטוט (0 , – 3 ג) ) x = 1 ב) מקסימום (1 , 0) א) .x ≠ 1 ,x , שליליות: כל x ו) חיוביות: אין x > 1 , ירידה: x < 1 ה) עלייה: y = –4 (x – 1)2 למשל: (ii) y = –2 (x – 1)2 למשל: (i) ז) .y = –3 (x + 1)2 (ii) y = 3 (x – 1)2 (i) ח) (ייצוג קדקודי) a ≠ 0 כאשר y = a(x − p)2 + k פונקציה מהצורה משימה ) א של הקדקוד. x , וזה גם שיעור ה - x = 3 ציר הסימטריה הוא (1) (2) 1 2 3 4 5 x 2 8 0 8 2 f(x) = 2 (x–3)2 ) ב ,y = ax2 ו - y = ax2 + c בדומה לקשר בין הגרפים של הפונקציות (1) f(x) על-ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה g(x)מתקבל גרף הפונקציה , בדומה לציר הסימטריה x = 3 הוא g(x) יח'. ציר הסימטריה של 5 כלפי מעלה ב - , מכיוון שבהזזה אנכית ציר הסימטריה לא משתנה. f(x) של y x x = 3 y = 2 (x –3)2 + 5 y = 2 (x – 3)2
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=