סדרת צמרת מותאם לכיתות הטרוגניות לפי תוכנית הלימודים החדשה מתמטיקה לכיתה ז׳ חלק א׳ אתי עוזרי יצחק שלו
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2026 © 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-83 : דאנאקוד ISBN: 978-965-93282-1-5 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
סדרת צמרת מותאם לכיתות הטרוגניות מתמטיקה לכיתה ז׳ חלק א׳ לפי תוכנית הלימודים החדשה
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים תוכן העניינים תחום מספרי ........................................................................................................... מערכת צירים ברביע הראשון א. נקודות במערכת צירים ............................................................................................. ב. קטעים במערכת צירים ............................................................................................. ג. צורות גיאומטריות במערכת צירים ............................................................................. ד. גרף נקודות במערכת צירים .......................................................................... ............. תשובות ..................................................................................................... ................. הכרת המספרים השליליים א. מספרים חיוביים, שליליים ואפס בחיי היום יום .................................... ..................... ב. הצגת המספרים החיוביים, השלילים והאפס על ציר המספרים ........... .......................... ג. יחס הסדר בין המספרים שעל ציר המספרים ................................. .............................. תשובות ..................................................................................... ................................. מספרים נגדיים וערך מוחלט א. מספרים נגדיים ................................................................... .................................... ב. ערך מוחלט ..................................................................... ........................................ תשובות .......................................................................... ............................................ חיבור מספרים מכוונים א. חיבור מספר חיובי / שלילי למספר נתון ..................... ................................................ ב. חוקי חיבור במספרים מכוונים .............................. .................................................... תשובות .............................................................. ........................................................ חיסור מספרים מכוונים א. חיסור מספרים מכוונים ............................... ............................................................ ב. רישום מספרים מכוונים ללא סוגריים ....... ................................................................ תשובות ................. ..................................................................................................... הרחבת מערכת צירים א. נקודות במערכת צירים מורחבת ............................................................................... ב. צורות גיאומטריות במערכת צירים מורחבת ............................................................... ג. גרף נקודות במערכת צירים מורחבת .......................................................................... תשובות ...................................................................................................................... 1 2 11 17 24 28 31 34 39 47 50 54 59 61 73 81 83 86 98 100 107 113 120
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים כפל מספרים מכוונים ....................................................................................................... א. מכפלה של שני מספרים שווי סימן ........................................................................... ב. מכפלה של שני מספרים מנוגדי סימן.......................................................................... ג. מכפלה של יותר משני מספרים מכוונים ..................................................................... תשובות ..................................................................................................................... חילוק מספרים מכוונים .................................................................................................... תשובות ............................................................................................................... ...... סדר פעולות החשבון עם מספרים מכוונים ........................................................................... תשובות ......................................................................................................... ............ חזקות עם מספרים מכוונים א. חזקות עם בסיס שהוא מספר חיובי או אפס ............................................... ............... ב. חזקות עם בסיס שהוא מספר מכוון ........................................................ .................. תשובות ................................................................................................ ..................... שורש ריבועי ............................................................................................ ........................ תשובות ..................................................................................................................... 123 124 127 135 138 140 149 151 160 162 172 179 183 191 תחום גיאומטרי .................................................................................................... זוויות .............................................................................................................. ............ סימון זוויות, סוגי זוויות והשוואתן א. סימון זוויות .......................................................................................................... ב. סוגי זוויות ............................................................................................................. ג. השוואה בין זוויות ... .... ............................................................................................ תשובות ..................................................................................................................... מדידה, סרטוט ואומדן של זוויות א. מדידה של זוויות בעזרת מד-זווית ............................................................................ ב. סרטוט של זוויות .................................................................................................... ג. אומדן של זוויות ...................................................................................................... תשובות ..................................................................................................................... חוצה זווית ......................................................................................................... ............. תשובות ...................................................................................................... ............... 193 193 194 201 207 212 214 222 226 229 231 238
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים סכום והפרש זוויות ........................ .................................................................................. תשובות .................................... ................................................................................. זוויות צמודות וזוויות קדקודיות א. זוויות צמודות ........................ ................................................................................ ב. זוויות קדקודיות ...................... ............................................................................... תשובות ....................................... .............................................................................. זוויות במשולש שווה- צלעות ושווה- שוקיים א. מיון משולשים לפי צלעות וזוויות ...... ....................................................................... ב. זוויות במשולש שווה-צלעות .................. ................................................................... ג. זוויות במשולש שווה- שוקיים .......... ....... .... ............................................................... תשובות .............................................. ............. ........................................................... סכום זוויות במשולש ובמרובע א. סכום זוויות במשולש ........................ ................ ...................................................... ב. סכום זוויות במרובע ........................... ................... ............................................ ...... תשובות .................................................. .................... ....................................... ........ סיכום נושא זוויות .......................................... ...................... ................................. ........... 239 249 251 258 267 270 274 277 281 283 293 300 302 צורות חופפות ................................................................ ................................ ......... טרנספורמציות של צורה במישור א. הזזה ................................................................................................... ................... ב. סיבוב ...................................................................................................... ............... ג. שיקוף שיקוף ביחס לישר ...................................................................................... ........... צורות סימטריות ............................................................................................ ...... ד . צורות חופפות .. .... .................................................................................................... תשובות ...................................................................................................................... 306 307 314 321 330 335 339
© כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים שטחים - שטח מלבן (כולל ריבוע) ומשולש .......................................... א. שטח מלבן (כולל ריבוע) ומשולש שטח מלבן, ריבוע ומשולש ישר-זווית .................................................................. שטח משולש כללי ............................................................................................. ב. שטח צורה המורכבת ממשולשים ו/או מלבנים שטח צורה המורכבת ממשולשים ו/או מלבנים ...... ............................................... שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים זה לזה .................. ........................................... ג. ריצופים ......................................................................... ....................................... תשובות ................................................................................... .................................... תיבה וקובייה ......................................................................................................... א. פריסה של תיבה (כולל קובייה) .. .............. ................................................................. ב. שטח פנים של תיבה (כולל קובייה) ............................................................................ ג. נפח של תיבה (כולל קובייה) .................................. .................................................... תשובות ...................................................................................................................... תחום אלגברי ................................................................................................... ...... משתנים וביטויים אלגבריים א. משתנים וביטויים אלגבריים . .................... ............................................................... ב. חוקיות - סדרות . .............. ...................................................................................... תשובות .................................... .................................................................................. הצבה בביטויים אלגבריים א. הצבה בביטויים אלגבריים שיש בהם משתנה אחד ......... ............................................. ב. הצבה בביטויים אלגבריים שיש בהם יותר ממשתנה אחד ............................................ תשובות ..................................................................................................................... 343 344 355 360 368 372 381 385 386 391 396 406 408 409 418 423 425 442 447
1 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים תחום מספרי ביחידה זו נעסוק ב תחום המספרי ה מהווה פרק המשך לנלמד ב בית הספר היסודי , ונועד לשרת תחומים נלמדים נוספים. בתוך כל אחד מהנושאים המופיעים בתוכנית ישנו דגש על פיתוח כשירות מתמטית ומיומנויות מתמטיות שמהוות חלק ממנה. נ עסוק בפיתוח מדורג של מגוון מיומנויות שימושיות לצורך הבנ ה לעומק של בסיס הידע להמשך ה לימודים בבית ספר ובחיים הבו גרים, גם מחוץ לשימושים מתמטיים . ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • סדר פעולות החשבון במספרים חיוביים. • חוקי פעולות החשבון במספרים חיוביים. באולם הרצאות הכי סאות מסודרים בשורות ובטורים. כל טור ממוספר מ- 1 ועד 12 , כל שורה ממוספרת מ- 1 ועד .10 להרצאה מסוימת נקנו כרטיסים, שבהם צוין מקום הישיבה. התאימו בין המקום המופיע בכרטיס לבין האות המופיעה על הכיסא. א. 1( ) )3( 2( ) )4( ב. על הכרטיס שקנה אלון מופיע המקום: על הכרטיס שקנה יובל מופיע המקום: האם נפלה טעות ושניהם קיבלו אותו כיסא? הסבירו. התשובה למשימת הפתיחה בעמ' .28 שורה טור 5 7 שורה טור 3 5 שורה טור 2 8 שורה טור 4 9 שורה טור 7 5 שורה טור 6 7
2 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים מערכת צירים ברביע ראשון בפרק זה נלמד על מערכת הצירים הקרטזית ותכונותיה . בשלב זה נתמקד ברביע הראשון שבמערכת הצירים. מה נלמד ? ✔ נקודות במערכת צירים. ✔ קטעים במערכת צירים. ✔ צורות גיאומטריות במערכת צירים. ✔ גרף נקודות במערכת צירים. התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' .30-28 א. נקודות במערכת צירים הסבר ודוגמה פתורה – נקודות במערכת צירים • נתבונן בסידור הכיסאות באולם ההרצאות שהוצג בשאלת הפתיחה. נניח רשת על הסרטוט, כך שאת מקומו של כל כיסא ניתן לתאר כנקודת מפגש של שני ישרים: ישר אופקי וישר אנכי. בסמוך למספרי השורות ולמספרי הטורים נוסיף לסרטוט שני צירים שמאונכים זה לזה: ציר אופקי וציר אנכי. הידעתם ? ר נ ה ד קארט ( 1650–1596 ) היה פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי, ונחשב לאחד ההוגים החשובים והמשפיעים ביותר . דקארט עסק בעיקר ביכולת להגיע לידיעה ודאית וביחס בין גוף לנפש . המשפט המפורסם שטבע " אני חושב, משמע אני קיים " מבטא את הרעיון שמול החושים המתעתעים, החשיבה של האדם מעידה על קיומו . אף על פי שהיה מוכר בעיקר עקב הגותו פורצת הגבולות בפילוסופיה, הוא השיג פרסום רחב כממציא של מערכת הצירים הקרטזית "( קרטזית " מלשון "קרטזיוס" – שמו הלטיני של דקארט, שהוא רֶנַאטּוס קַרְטֶזְיּוס). באמצעות פיתוח מערכת הצירים הקרטזית הניח דקארט את היסודות למתמטיקה המודרנית .
3 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים • נמחק את הכיסאות ונשאיר את הרשת, הצירים והמספרים. ✓ הסרטוט שמופיע כעת נקרא מערכת צירים . ✓ הציר האופקי נקרא ציר ה- x , הציר האנכי נקרא ציר ה- y. ✓ נקודת המפגש של שני הצירים נקראת ראשית הצירים . נקודה זו מציינת את המספר אפס על כל אחד מצירים. מקובל לסמן נקודה זו באות הלטינית הגדולה O (א ). ֹו ✓ מסמנים את שמות הנקודות באמצעות אותיות לועזיות גדולות: ... C , B , A . ✓ על כל ציר מסומנים מספרים עוקבים שנמצאים במרחקים קבועים. המיקומים של המספרים על הצירים נקראים ֹו ש נ תת (ביחיד: שֶנֶת). ✓ לכל נקודה במערכת הצירים יש "כתובת" משלה, הקובעת את מקומה במישור. "כתובת " הנקודה מורכבת מזוג מספרים ( x , y ) שנקראים שיעורי הנקודה . דוגמה: נתונה נקודה ( )2 ,3 A . הזוג ( 2 ,3 ) נקרא שיעורי הנקודה A . המספר 2 נקרא שיעור ה- x של הנקודה. המספר 3 נקרא שיעור ה- y של הנקודה. חשוב מאוד! שימו לב לסדר המספרים בתוך הזוגות. הנקודה A(2 ,3) שונה מהנקודה ( )3 ,2 B , ולכן קוראים לשיעורי כל נקודה זוג סדור של מספרים . ✓ שיעור ה- x של כל הנקודות שנמצאות על ציר ה- y שווה ל- 0 . למשל הנקודה ( )0 ,7 T. ✓ שיעור ה- y של כל הנקודות שנמצאות על ציר ה- x שווה ל- .0 למשל הנקודה ( )9 ,0 P . ✓ שיעור ה- x ושיעור ה- y של ראשית הצירים שווים ל- )0 ,0( .0 O . מספר על הציר האנכי השיעור השני מספר על הציר האופקי השיעור הראשון
4 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים דוגמה א. התאימו את שיעורי הנקודות הבאות, לנקודות C , B , A , המסומנות במערכת הצירים. )1( 8 ,5( ( ) 0 ,2( )2 ( ) )4 ,0( )3 ב. רשמו את שיעורי הנקודות M ו- T המסומנות במערכת הצירים. פתרון: א. )1( בנקודה ששיעוריה ( ,)8 ,5 שיעור ה- x הוא 8 ו שיעור ה- y הוא .5 נסמן אנכים מהערך 8 שעל ציר ה- x ומהערך 5 שעל ציר ה- y באופן הבא: שני האנכים נפגשים בנקודה C , ו לכן: ( )8 ,5 C . )2( בנקודה ששיעוריה ( ,)0 ,2 שיעור ה- x הוא 0 ו שיעור ה- y הוא .2 שיעור x השווה ל- 0 מציין שהנקודה נמצאת על ציר ה- y . שיעור ה- y השווה ל- 2 מציין ש מקום הנקודה על ציר ה- y הוא ב - .2 הנקודה המונחת על המספר 2 בצירה- y היא: ( )0 ,2 B . )3( בנקודה ששיעוריה ( ,)4 ,0 שיעור ה- x הוא 4 ו שיעור ה- y הוא .0 שיעור y השווה ל- 0 מציין שהנקודה נמצאת על ציר ה- x. שיעור ה- x השווה ל- 4 מציין שמקום הנקודה על ציר ה- x הוא ב - .4 הנקודה המונחת על המספר 4 בציר ה- x היא: ( )4 ,0 A . תשובה: ( )8 ,5 C )0 ,2( , B )4 ,0( , A . ב. נמצא את שיעורי הנקודה M על ידי סרטוט אנכים לצירים מנקודה זו. האנך לציר ה- x מגיע לנקודה 6 , והאנך לציר ה- y מגיע לנקודה 3 . לכן: ( )6 ,3 M . הנקודה T נמצאת על ציר ה- x , ולכן שיעור ה- y שלה הוא .0 היא מונחת על המספר 10 בציר ה- x . לכן: ( )10 ,0 T . תשובה: ( )6 ,3 M )10 ,0( , T . ביישומון שלפניכם תוכלו לתרגל מציאת שיעורי נקודות נתונות. ביישומון שלפניכם תוכלו לתרגל סימון שיעורי נקודות נתונות.
5 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .1 א. נתונה הנקודה ( )4 ,6 A. 1( ) שיעור ה- x של הנקודה A הוא ____. )2( שיעור ה- y של הנקודה A הוא ____. ב. שיעור ה- x של הנקודה B הוא 1 , ושיעור ה- y של הנקודה B הוא : 5 , ולכן )___ , ___( B . .2 שיעורי הנקודה A שבסרטוט הם: א. ( )3 ,5 ב. ( )3 ,3 ג. ( )5 ,3 ד. ( )5 ,5 .3 א. שיעורי הנקודה M שבסרטוט הם: )1( )2 ,6( )2 ,2( )2( )6 ,6( )3( )6 ,2( )4( ב. ( )1 מהו שיעור ה- x של הנקודה M ? )2( מהו שיעור ה- y של הנקודה M? .4 איזו מערכת צירים מסומנת הנקודה ( )4 ,3 P ? א. ב. ג. ד. .5 בכל סעיף זהו בסרטוט את הנקודה ששיעוריה נתונים. א. ( )0 ,3 ב. ( )4 ,0
6 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .6 א. אילו נקודות מבין הנקודות הבאות מונחות על ציר x , ואילו נקודות מונחות על ציר y? )0 ,5( )1( 0 ,8( )3( ) 1 ,0( )5( ) )0 ,0.5( )7( ,0( )2( 6 ) 0 ,0( )4( ) 3 ,0( )6( ) )2.5 ,0( )8( ב. העתיקו למחברתכם והשלימו: 1( ) כל הנקודות על ציר ה- x , שיעור ה- y שלהן הוא ____. 2( ) כל הנקודות על ציר ה- y , שיעור ה- x שלהן הוא ____. .7 השלימו את השיעורים החסרים בנקודות D , C , B , A , המסומנות במערכת הצירים. א. (7 ) __ , A ג. (__, )5 C ב. )7 ,__( B ד. ( )__ ,4 D .8 א. התאימו את שיעורי הנקודות הבאות, לנקודות D , C , B , A , המסומנות במערכת הצירים. )1( ,5( 4 ( ) )0 ,6( )3 )2( (7 , 6 ( ) )6 ,0( )4 ב. רשמו את שיעורי הנקודות M ו- T המסומנות במערכת הצירים. .9 בחניון סומנו החניות באמצעות מערכת צירים. א. שיעורי הנקודה שבה חונה המכונית האדומה הם: )5 ,5( )1( )5 ,2( )3( )2 ,5( )2( )0 ,5( )4( ב. ( 1 ) שיעור ה- x של הנקודה שבה חונה המכונית השחורה הוא: ____. 2( ) שיעור ה- y של הנקודה שבה חונה המכונית השחורה הוא: ____.
7 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .10 באולם שלפניכם יושבים נדב, יהונתן, שי ועידו. רשמו את שיעורי הנקודות של כל מקום ישיבה. א. נדב יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( A . ב. יהונתן יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( B . ג. שי יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( C . ד. עידו יושב במקום המסומן ב- )___ , ___( D . .11 בתמונה שלפניכם מופיע גג בית במבט על. א. רשמו את שיעורי הקדקודים D , C , B , A . ב. לאיזו נקודה מהנקודות D , C , B , A : )1( יש שיעור x הקטן ביותר? מהו? )2( יש שיעור y הגדול ביותר? מהו? ג. תנו דוגמה לשיעורי נקודה שעל הגג. ד. תנו דוגמה לשיעורי נקודה שלא על הגג. .12 ה תכנית של גינה ציבורית הונחה על מערכת צירים. העתיקו אותה למחברתכם וסמנו בה את ה פריטים הבאים: א. ברזייה בנקודה ( .)6 ,1 ב. פחים בנקודות ( 2 ,6 ) ו-( .)11 ,4 ג. עצים בנקודות ( 4 ,3 ) ו-( .)9 ,2 .13 סרטטו מערכת צירים, שבה כל משבצת היא יחידה אחת. סמנו במערכת זו את הנקודות הבאות : א. )1 ,3( A ג. ( )5 ,3 C ה. ( ,0 2 1 2 )E ז. ( )0 ,0 O ב. )2 ,4( B ד. ( )2.5 ,5 D ו. ( 4 1 2 )0 , G ח. ( 1 2 , 1 2 )K
8 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .14 בכל אחד מהסעיפים תנו דוגמה לשיעורי נקודה וסמנו אותה במערכת צירים. א. נקודה ששיעור ה- x שלה הוא .2 ה. נקודה שנמצאת על שני הצירים? ב. נקודה ששיעור ה- y שלה הוא 3 . ו. נקודה שיש לה שיעורי x ו- y שווים. ג. נקודה שנמצאת על ציר ה- x . ז. נקודה ששיעור ה- x שלה גדול ב- 3 משיעור ה- y שלה. ד. נקודה שנמצאת על ציר ה- y. ח. נקודה ששיעור ה- y שלה גדול פי 2 משיעור ה- x שלה. .15 במערכת הצירים שלפניכם מופיעה הנקודה ( 5 , 6 )K . א. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה D? 3 ,5( )1( ( ) )3 ,6( )3 7 ,6( )2( ( ) )7 ,5( )4 ב. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה F? 3 ,7( )1( ( ) )7 ,5( )3 7 ,3( )2( ( ) )3 ,5( )4 ג. הציעו שיעורים נוספים עבור הנקודה F . .16 א. מהם שיעורי הנקודה T? )1( (30,30) )2( (10,30) )3( (30,10) )4( (10,10) ב. מה שיעורי הנקודה G? )1( (10,10) )2( (5,5) )3( (5,10) )4( (10,5) הסבר לכל ציר קובעים בנפרד יחידת אורך, כלומר: ייתכן שלשני הצירים תהיה אותה יחידת אורך, וגם ייתכן שיחידות האורך של הצירים תהינה שונות. למשל: בדוגמה זו כל משבצת בשני הצירים היא יחידת אורך אחת. בדוגמה זו כל משבצת על ציר ה- x היא 2 יחידות אורך, וכל משבצת על ציר ה- y היא 5 יחידות אורך. בדוגמה זו כל שתי משבצות על ציר ה- x מהוות 1 יחידת אורך, וכל משבצת על ציר ה- y היא 3 יחידות אורך.
9 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .17 מה יכולים להיות שיעורי הנקודה T ? א. ( 4 , 2 ) ב. ( 2 , 5 ) ג. ( 3 , 4 ) ד. ( )5 ,3 .18 א. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה P? )12 ,8( )1( )8 ,8( )2( )8 ,12( )3( )12 ,12( )4( ב. הציעו שיעורים אפשריים אחרים לנקודה P . .19 א. מהם שיעורי הנקודה L? ב. מה יכולים להיות שיעורי הנקודה R? )1( (30,15) )2( (25,15) )3( (25,18) )4( (12,18) ג. הציעו שיעורים אפשריים אחרים לנקודה R . .20 אגף הגנים מִיפָּה פארק בעזרת רשת, כל משבצת מייצגת ריבוע שאורך צלעו .' 10 מ כ ל נקודה מייצגת מיקום מתוכנן של עץ . א. התאימו את העצים הבאים לנקודות A,B,C,D המסומנות בתכנית הפארק . 1( ) עץ במיקום ( .)60 ,0 3( ) עץ במיקום ( .)0 ,60 2( ) עץ במיקום ( .)40 ,40 4( ) עץ במיקום ( .)70 ,60 ב. רשמו את מיקומי הנטיעה של העצים המסומנים ב- M ו- T בתכנית הפארק .
10 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .21 איילה רוצה לסרטט מרובע ששלושה מקדקודיו הן הנקודות המסומנות ב מערכת הצירים שלפניכם. א. איז ו נקודה מבין הנקודות הבאות לא תשלים את המרובע ? )3 ,2( )1( )9 ,2( )2( )5 ,8( )4( )4 ,6( )3( ב. הציעו 2 שיעורים אפשריים לנקודה שתשלים למרובע. .22 מתן רוצה לס רטט מחומש שארבעה מקדקודיו הן הנקודות המסומנות ב מערכת הצירים שלפניכם. א. איז ו נקודה מבין הנקודות הבאות לא תשלים את המחומש ? )6 ,8( )1( )9 ,4( )2( )8 ,5( )4( )3 ,1( )3( ב. הציעו 2 שיעורים אפשריים לנקודה שתשלים למחומש. .23 במערכת הצירים שלפניכם מוצ ג מרובע ABCD . העתיקו את הסרטוט למחברתכם והאריכו את הצלעות AB ו- DC , כך שנוצר משולש . מהו שיעורי הקדקוד השלישי של המשולש שהתקבל? .24 א. סמנו במערכת הצירים , שבה כל משבצת היא יחידה אחת, נקודות לבחירתכם, כך שיתקבלו: 1( ) משולש 2( ) מלבן 3( ) ריבוע ב. רשמו את שיעורי הנקודות שבחרתם. תזכורת • מצולע – קו שבור סגור. • שם המצולע נקבע על פי מספר צלעותיו: • משולש - מצולע בעל 3 צלעות. • מרובע - מצולע בעל 4 צלעות. • מחומש - מצולע בעל 5 צלעות. מרובעים מיוחדים: • מלבן – מרובע שכל זוויותיו בנות 900 . ריבוע – מלבן שכל צלעותיו שוות. מקבילית – מרובע שבו 2 זוגות של צלעות נגדיות שוות.
11 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים ב. קטעים במערכת צירים בסעיף זה נלמד למצוא אורך קטע המקביל לציר (או מתלכד איתו). בנוסף נלמד למצוא את שיעורי נקודת הקצה של קטע המקביל לאחד הצירים בהינתן אחת מנקודות הקצה שלו ואורכו. הסבר ודוגמה פתורה – אורך קטע המקביל לציר (או מתלכד איתו) נתבונן בנקודות המסומנות במערכת הצירים הבאה. נקודות A ו- B : שיעור ה- y של שתי הנקודות הוא .7 מכאן ששתי הנקודות נמצאות במרחק של 7 יח' מציר ה- x , כלומר הקטע AB נמצא במרחק קבוע מציר ה- x , ולכן הקטע AB מקביל לציר ה- x . נמצא את אורך הקטע AB באופן הבא: − =10−2= ′ יח 8 נקודות C ו- D : שיעור ה- x של שתי הנקודות הוא 5 . מכאן ששתי הנקודות נמצאות במרחק של 5 יח' מציר ה- y , כלומר הקטע CD נמצא במרחק קבוע מציר ה- y , לכן הקטע CD מקביל לציר ה- y . נמצא את אורך הקטע CD באופן הבא: − =6−1= ′ יח 5 נסכם • אם לשתי נקודות יש אותו שיעור x , א זי הישר העובר דרכן מקביל לציר ה- y או מתלכד אתו . ולהפך: לנקודות, המונחות על ישר המקביל לציר ה- y( או על ציר ה- y,) יש אותו שיעור . בסרטוט: נקודות C ו- D . • אם לשתי נקודות יש אותו שיעור y, אזי הישר העובר דרכן מקביל לציר ה- x או מתלכד אתו . ולהפך: לנקודות, המונחות על ישר המקביל לציר ה- x( או על ציר ה- x,) יש אותו שיעור . בסרטוט: נקודות A ו- B . • אורך קטע הניצב לציר x או לציר y ✓ אורך הקטע AB , הניצב לציר y , הוא : − . (A - נקודה ימנית, B - נקודה שמאלית.) ✓ אורך הקטע CD , הניצב לציר x , הוא : − . (C - נקודה עליונה, D - נקודה תחתונה.)
12 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים דוגמה במערכת הצירים נתונות הנקודות הבאות: )8 ,5( A )8 ,1( , B )1 ,6( , C )7 ,6( , D . א. הסבירו מדוע הקטע AB מקביל לציר ה- y . ב. הסבירו מדוע הקטע CD מקביל לציר ה- x . ג. מצאו את אורכי הקטעים AB ו- CD . ד. הנקודה K נמצאת משמאל לנקודה B . הקטע BK מקביל לציר ה- x ואורכו 3 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה K . פתרון: א. לנקודות A ו- B יש אותו שיעור x : = =8 . שתי הנקודות נמצאות באותו המרחק מציר ה- y 8( יחידות). לכן הקטע AB מקביל לציר ה- y . ב. לנקודות C ו- D יש אותו שיעור y : = =6 . שתי הנקודות נמצאות באותו המרחק מציר ה- x( 6 יחידות). לכן הקטע CD מקביל לציר ה- x. ג. נמצא את אורך הקטע AB : − =5−1= ′ יח 4 . נמצא את אורך הקטע CD : − =7−1= ′ יח 6 . תשובה : אורך הקטע AB הוא 4 יחידות, ואורך הקטע CD הוא 6 יחידות. ד. הקטע BK מקביל לציר ה- x , לכן שיעור ה- y של הנקודה K הוא : 1 , כי = =1 . שיעור ה- x של B הוא 8 , והנקודה K נמצאת משמאל לנקודה B . לכן שיעור ה- x של הנקודה K קטן ב- 3 יח' משיעור ה- x של הנקודה B , והוא: = −3=8−3=5 . תשובה: ( )5 ,1 K הערות : • יחידות המידה במערכת הצירים הן " יחידות " או " יחידות אורך " (ובכתיב מקוצר: יח') ולא ס"מ, מטרים וכו'. • בחישוב אורכי קטעים יש להקפיד לחסר את הערכים בסדר הנכון . • חישוב אורכו של קטע, המונח על אחד הצירים, מתבצע בדיוק באותה הדרך . • בהינתן קטע המקביל לאחד הצירים או מתלכד עם אחד הצירים ונתון אורכו ושיעורי אחד הקצוות שלו, נוכל למצוא את שיעו רי הקצה השני על ידי פעולת ה חיבור (אם הנקודה החסרה נמצאת מימין או מעל לקצה הנתון) או על ידי פעולת ה חיסור (אם הנקודה החסרה נמצאת משמאל או מתחת לקצה הנתון) .
13 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .25 במערכת הצירים שלפניכם מסומן הקטע TP , המקביל לציר ה- x . א. רשמו את שיעורי הנקודות T ו- P . ב. מה המשותף לשיעורי הנקודות T ו- P? ג. אילו מהנקודות הבאות נמצאות על הקטע TP : )6 ,4( )1( )1,1( )2( ,4( )3( 2 ) ( )4( 7 , 7 ) ד. מהו אורך הקטע TP ? .26 במערכת הצירים שלפניכם מסומן הקטע TP , המקביל לציר ה- y . א. רשמו את שיעורי הנקודות T ו- P . ב. מה המשותף לשיעורי הנקודות T ו- P? ג. ציינו שיעורים של 3 נקודות שנמצאות על הקטע TP . ד. מהו אורך הקטע TP ? .27 ב מערכות הצירים שלפניכם נתונות 2 נקודות. הקטע המחבר אותן מקביל לציר ה- x . בכל מערכת צירים, מצאו את שיעור ה- y החסר, ומצאו את אורך הקטע AB . א. ב. ג. .28 במערכות הצירים שלפניכם נתונות 2 נקודות. הקטע המחבר אותן מקביל לציר ה- y . בכל מערכת צירים, מצאו את שיעור ה- x החסר, ומצאו את אורך הקטע AB . א. ב. ג.
14 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .29 במערכת הצירים שלפניכם נתונות 3 נקודות. א. הסבירו מדוע הקטע AB מקביל לציר ה- x . ב. הסבירו מדוע הקטע BC מקביל לציר ה- y . ג. מצאו את אורכי הקטעים AB ו- BC . .30 גנן מִיפָּה מערכת השקיה בעזרת מערכת צירים שבה כל יחידה מייצגת קטע באורך .' 1 מ הנקודות בסרטוט מייצגות חיבורים במערכת ההשקיה, והקטעים הצבעוניים מייצגים צינורות שיש להחליף . הגנן מעוניין ל הזמין צינורות חדשים באורך המתאים לו. מצאו את אורכם של הצינורות הבאים : SN , MG , PL ו- RT . .31 במערכת הצירים מסומנת הנקודה ( )6 ,4 T . א. הנקודה E נמצאת משמאל לנקודה T. הקטע ET מקביל לציר ה- x ואורכו 3 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה E . ב. הנקודה G נמצאת מימין לנקודה T. הקטע TG מקביל לציר ה- x ואורכו 4 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה G . .32 במערכת הצירים מסומנת הנקודה ( )5 ,4 L . א. הנקודה A נמצאת מעל לנקודה L. הקטע LA מקביל לציר ה- y ואורכו 4 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה A . ב. הנקודה M נמצאת מתחת לנקודה L. הקטע ML מקביל לציר ה- y ואורכו 2 יחידות. מצאו את שיעורי הנקודה M .
15 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .33 במערכות הצירים שלפניכם הקטעים מקבילים לצירים. בכל אחד מהסעיפים מצאו את שיעורי הנקודה B ואת אורכי הקטעים AB ו- BC . א. ד. ג. ב. .34 מצאו את שיעורי הנקודות A ו- C במלבנים הבאים , שצלעותיהם מקבילות לצירים או מתלכדות עם הצירים . א. ד. ג. ב. .35 א. מצאו את שיעורי הנקודה הנמצאת מימין לראשית הצירים ובמרחק של 7 יחידות ממנה. ב. מצאו את שיעורי הנקודה הנמצאת מעל לראשית הצירים ובמרחק של 5 יחידות ממנה. .36 נתונה הנקודה ( )8 ,6 A . א. הקטע AB מקביל לציר ה- x ואורכו 5 יחידות. מצאו את שתי האפשרויות ל שיעורי הנקודה B . ב. הקטע AC מקביל לציר ה- y ואורכו 3 יחידות. מצאו את שתי האפשרויות ל שיעורי הנקודה C . .37 נתונה הנקודה ( )5 ,7 A . א. אורכו של הקטע AP הוא 2 יחידות. כמה אפשרויות יש לנקודה P? ב. הקטע AP מקביל ל אחד הצירים ואורכו 2 יחידות. כמה אפשרויות יש לנקודה P ? מצאו את כולן.
16 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .38 חיפושית מטיילת על סורג המורכב מקווים מקבילים היוצרים ריבועים, שאורך צלעם הוא . 1 יחידה היא מתחילה את המסלול (מסומן באדום) בנקודה ששיעוריה ( 1 ,1 ), ומסיימת אותו בנקודה ששיעוריה ( .)7 ,3 א. מצאו את אורך המסלול של החיפושית. ב. הציעו מסלול אחר שאורכו שווה לאורך המסלול של החיפושית. .39 השכונה של רועי בנויה משטחים ריבועיים, המסומנים על- ידי קווים מקווקוים לבנים, שאורך צלעם 10 מ', וביניהם עוברים כבישים מקבילים. רועי נוסע מהצומת שבנקודה ( )0 ,0 לצומת שבנקודה ( .)60 ,30 א. ביום א' הוא נסע במסלול התכלת. מה אורכו של המסלול התכלת? ב. ביום ב' הוא נסע במסלול הצהוב. מה אורכו של המסלול הצהוב? ג. מצאו מסלול נוסף מהנקודה ( 0 ,0 ) לנקודה ( :)60 ,30 1( ) שאורכו שווה לאורך המסלול הצהוב. )2( שארוך מהמסלול הצהוב. )3( שקצר מהמסלול הצהוב.
17 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים ג. צורות גיאומטריות במערכת צירים בסעיף זה נעסוק בצורות גיאומטריות במערכת צירים, ובחישוב היקפן ושטחן. הסבר ו דוגמה פתורה – שטח מלבן שטח המלבן PQRS הוא . 18 יח"ר א. מצאו את שיעור ה- x של הנקודות R,Q . ב. מה היקף המלבן? פתרון: • לנקודות P ו- S יש אותו שיעור x : = =10 . שתי הנקודות נמצאות באותו המרחק מציר ה- y 10( יחידות). לכן הצלע SP מקבילה לציר ה- y . נמצא את אורך הצלע SP : − =6−3= ′ יח 3 . • נתון ששטח המלבן PQRS הוא 18 יח"ר, ומצאנו שאורך אחת הצלעות הוא .' 3 יח שטח מלבן הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות . לכן אורך הצלע הסמוכה לה הוא: = = 18 3 = ′ יח 6 . א. תזכורת – היקף ושטח מלבן וריבוע • בלימודי המתמטיקה בבית הספר היסודי השתמשו בסימן " × " לפעולת הכפל. כעת נשתמש בסימן " ∙ " במקום הסימן " × ." • מלבן היקף מלבן – סכום אורכי כל צלעותיו. 6+4+6+4= מ"ס 20 שטח מלבן – מכפלת אורכי צלעותיו הסמוכות. 6×4=6 ∙ 4= ר"סמ 24 • ריבוע היקף ריבוע – סכום אורכי כל צלעותיו. 5+5+5+5=4×5=4∙5= מ"ס 20 שטח מלבן – מכפלת אורכי צלעותיו הסמוכות. 5×5=5 ∙ 5= ר"סמ 25 הערה : במערכת הצירים ה יקף צורה יוצג ב " יחידות" או ב " יחידות אורך " (ובכתיב מקוצר: יח'), ול א ס"מ, מטרים וכו'. שטח צורה במערכת צירים יוצג ב " יחידו ת ריבועיות " או ב " יחידות שטח " (ובכתיב מקוצר: יח"ר או יח"ש), ולא סמ"ר, מ"ר וכו'.
18 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים • אורכה של הצלע RS הוא 6 יח' והיא מקבילה לציר ה- x . שיעור ה- x של הנקודה S הוא ,10 והנקודה R נמצאת משמאל לנקודה S . לכן שיעור ה- x של הנקודה R קטן ב- 6 יח' משיעור ה- x של הנקודה S והוא: = −6=10−6=4 . • הצלע RQ מקבילה לציר ה- y , ולכן לנקודות R ו- Q יש אותו שיעור x שהוא .4 ניתן גם למצוא את שיעור ה- x של הנקודה Q על ידי הפחתה של 6 יח' משיעור ה- x של הנקודה P . תשובה: ( )4 ,6 R )4 ,3( , Q . ב. מצאנו שאורכי צלעות המלבן הן 6 יח' ו- .' 3 יח היקף מלבן הוא סכום אורכי הצלעות. לכן היקף המלבן הוא: 6+3+6+3= ′ יח 18 . תשובה : היקף המלבן PQRS הוא .' 18 יח הערה: בחלק מהשאלות תופיע רשת במערכת הצירים, אם היא נדרשת לפתרון השאלה. כאשר משתמשים במערכת צירים לצורך ייצוג של צורות גיאומטריות, חשוב להשתמש באותן יחידות אורך על שני הצירים (אחרת יי תכנו עיוותים בס רטוט של הצורות) . דוגמה יעל ותמר התבקשו לס רטט במערכת צירים ריבוע שקדקודיו הם : A(2,8), B(6,8), C(6,4), D(2,4) . לפניכם הסרטוטים של שתי הבנות : הסרטוט של יעל הסרטוט של תמר אנו רואים שבסרטוט של יעל יש אותן יחידות אורך בשני הצירים, ולכן המרובע ABCD נראה ריבוע . לעומת זאת, בסרטוט של תמר אין אותן יחידות אורך בשני הצירים, ולכן המרובע ABCD נראה מלבן ולא ריבוע .
19 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .40 לפניכם מערכות צירים שבהם מסורטטים מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים ו/ או מונחות על הצירים. לגבי כל מלבן: מצאו את אורכי צלעותיו, היקפו ושטחו. א. ג. ב. ד. .41 לפניכם מערכות צירים שבהם מסורטטים מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים ו/ או מונחות על הצירים. לגבי כל מלבן: מצאו את אורכי צלעותיו, היקפו ושטחו. א. ג. ב. ד. .42 לפניכם מערכות צירים שבהם מסורטטים מלבנים שצלעותיהם מקבילות לצירים. לגבי כל מלבן: מצאו את אורכי צלעותיו, היקפו ושטחו. א. ב. .43 קדקודיו של מלבן הם: ( 5 )8 , A )8 ,2( , B ( , 2 , 1 )C )1 ,5( , D . א. מצאו את אורכי הצלעות AB ו- BC . ב. מצאו את שטח המלבן ABCD . ג. האם הנקודה ששיעוריה ( 7 ,4 ) נמצאת בתוך המלבן / מחוץ למלבן / על אחת מצלעות המלבן? ד. רשמו שיעורי נקודה שהיא: 1( ) מחוץ למלבן. 2( ) על אחת מצלעות המלבן.
20 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .44 קדקודיו של משולש הם: ( 3 , 9)A ( , 3 , 1 )B ,7( , 1)C . א. הסבירו מדוע הצלע BC מקבילה לציר ה- y . ב. הסבירו מדוע הצלע BA מקבילה לציר ה- x. ג. מצאו את אורכי הצלעות AB ו- CB . ד. איזו נקודה מבין הנקודות הבאות תשלים את המשולש למלבן? )9 ,7( )1( )8 ,7( )2( )9 ,1( )3( )9 ,3( )4( ה. מצאו את ההיקף והשטח של המלבן שהתקבל. .45 שטח המלבן PQRS הוא . 15 יח"ר א. מצאו את שיעור ה- x של הנקודות Q ו- R . ב. מה היקף המלבן? .46 בסרטוט שני ריבועים זהים . א . מהם שיעורי הנקודה B ? )0 ,30( )1( )60 ,0( )2( )30 ,0( )3( ב . מהם שיעורי הנקודה C ? .47 בסרטוט שני ריבועים זהים . א . מהם שיעורי הנקודה B ? ב . מהם שיעורי הנקודה C? 48 . במערכת הצירים שלפניכם התחילו לצייר מלבן ABCD . שתי הצלעות הסמוכות מסורטטות. א. רשמו את שיעוריהם של שלושת הקדקודים הנתונים של המלבן. ב. רשמו את שיעורי הקדקוד D , כך שיתקבל מלבן. ג. מצא ו את שטח המלבן. ד. לפניכם שיעורי נקודות. לגבי כל נקודה ציינו אם היא נמצאת בתוך המלבן / מחוץ למלבן / על אחת מצלעות המלבן. א. )6 ,2( )4 ,6( )2( ,4( )3( )8 )9 ,3( )4(
21 © כל הזכויות שמורות – יצחק שלו & אתי עוזרי – מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים .49 ענת מעוניינת לס רטט מקבילית ב מערכת הצירים שלפניכם. היא סרטטה שלוש נקודות ושתי צלעות. א. מצאו את שיעורי הנקודות המסומנות . ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה הרביעית ? (הדרכה: במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו.) 50 . במערכת הצירים מסומנות הנקודות A ו- B . א. רשמו את שיעוריהן של הנקודות A ו- B . ב. הציעו שיעורים אפשריים לנקודה M , שתשלים למשולש ישר-זווית ∆ABM . ג. הציעו שיעורים אפשריים לנקודות C ו- D , שישלימו למלבן ABCD . מצאו את היקפו ושטחו. 51 . במערכת הצירים מסומנות הנקודות A ו- B . א. רשמו את שיעוריהן של הנקודות A ו- B . ב. מהו אורך הקטע AB ? ג. 1( ) העתיקו למחברתכם את מערכת הצירים ואת הנקודות וס רטטו מלבן ABCD ששטחו " 30 יח ר. )2( רשמו את שיעורי הקדקודים C ו- D של המלבן. ד. )1( ס רטטו מלבן ABCD שונה מהמלבן שסרטטת ם בסעיף ג', ששטחו " 30 יח ר. )2( רשמו את שיעורי הקדקודים C ו- D של המלבן. ה. האם היקפי המלבנים שווים? האם ניתן לדעת מבלי לחשב את ההיקפים? .52 א. על גבי מערכת צירים סמנו את הנקודות הבאות בסדר שהן מופיעות : )8 ,7( D )3 ,7( , C )3 ,2( , B )8 ,2( , A . ב. סרטטו ארבעה קטעים המחברים בין הקדקודים לפי הסדר של סעיף א' עד לקבלת מצולע . מ הו המצולע שהתקבל ? ג. מהו היקף המצולע שהתקבל? ד. מהו שטח המצולע שהתקבל?
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=