3292 אישור מס': 2.3.16 אושר בתאריך: סדרת מעוף
כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' -סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה ואושר על ידי מתאים לתוכנית הלימודים החדשה, הספר "מתמטיקה לכיתה ט' – חלק א' – סדרת מעוף" משרד החינוך. ומכיל: אחד מתוך שני כרכים בסדרה"מתמטיקה לכיתה ט' – חלק א' – סדרת מעוף" הוא – חזקות ושורשים, כתיבה מדעית של מספרים, טכניקה אלגברית ופונקציה ריבועית. תחום אלגברי – משולש שווה-שוקיים, דלתון, ישרים מקבילים, טרפז ומקבילית. תחום גיאומטרי מה מיוחד בספר? • כל פרק מתחיל עם תרגילי "מפתח". תרגילי ה"מפתח" נלמדים בכיתה ומהווים כלי עזר מצוין למורה לצורך הסבר החומר. • בסיום כל פרק מופיע סיכום המרכז את החומר הנלמד בפרק. • בכל פרק משולבים בין התרגילים, תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך" (ברוב המקרים) ולא רק תשובות סופיות. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה, ובו, בנוסף לרציונל הפדגוגי, מופיעים פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות והצעות לדרכי הוראה והמחשה. תמיכה בבתי הספר בתי ספר אשר ילמדו לפי ספר זה, יקבלו ליווי והדרכה. תודתנו נתונה לניצה פיינרו, טלי רואש, ונסה כוכבי וגרשון ברומברג שקראו את הספר, העירו והאירו. הרבה תודה ואהבה על התמיכה והסבלנות נתונות למשפחותינו: בני זוגנו איתן וקרינה, וילדינו עידן, דניאל, מעין, נירם, גבי ואנסטסיה. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. אתי עוזרי & יצחק שלו
כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' -סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים חזקות ושורשים 1....................................................................................................................... חזקות עם מעריך טבעי 9............................................................................................................ סדר פעולות החשבון עם חזקות 15............................................................................................ מכפלה ומנה של חזקות בעלות בסיס זהה 25................................................................................................................................ חזקה של חזקה 30................................................................................................................. חזקה של מכפלה ושל מנה 37............................................................................................. חזקות בעלות מעריך אפס ומעריך שלילי 44................................................................................................................ כתיבה מדעית של מספרים 52............................................................................................................................. שורשים ריבועיים 64.......................................................................................................................................... תשובות טכניקה אלגברית - נוסחאות הכפל המקוצר 77................................................................................................ ויישומה a2 – b2 נוסחת הכפל המקוצר 84........................................................................... ויישומן (a – b)2 ו - (a + b)2 נוסחאות הכפל המקוצר 96.......................................................................................................... צמצום, כפל וחילוק של שברים 111............................................................................................................... משוואות עם נעלם במכנה 118........................................................................................................................................ תשובות
כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' -סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הפונקציה הריבועית 124.............................................................................................. והגרף שלה (a ≠ 0) y = ax2 הפונקציה 142.................................................................) (הזזות אנכיות a ≠ 0 כאשר y = ax2 + c פונקציה מהצורה 158........................................................................................................................................ תשובות גיאומטריה 168..................................................................................................................... ארגז הכלים המצטבר 171...................................................................................................................... משולש שווה-שוקיים 194........................................................................................................................................... דלתון 215................................................................................................................... ישרים מקבילים וטרפז 241....................................................................................................................................... מקבילית 274........................................................................................................................................ תשובות
-1כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חזקות ושורשים חזקות עם מעריך טבעי שנלמד בעבר, וכאן יילמד בהרחבה.חזקות בפרק זה נחזור על המושג .6 · 6 · 6 · 6 נתבונן בדוגמה: . אנו רואים שלפנינו מכפלה של ארבעה גורמים1296 כאשר נכפול את המספרים הללו, נקבל את התוצאה . מקובל לרשום את המכפלה בדרך מקוצרת באופן הבא:6הזהים זה לזה: כל אחד מהם שווה ל- .6 · 6 · 6 · 6 = 64 y y .4 בחזקת6 קוראים64 לרישום y y .בסיס החזקה נקרא 6 המספר y y מעריך החזקה.נקרא 4 המספר , אלא כתיבה מקוצרת של פעולת הכפל.6 · 6 · 6 · 6 אינו החישוב של המכפלה 64 חשוב לציין: מה נלמד? ✔ ✔ נחזור על הרישום של חזקות. ✔ ✔ נחזור על חזקות שבהן הבסיס הוא מספר שלילי. לדרך... תרגילים )66-64 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 1 1 . לפניכם סדרה המכילה קבוצות של עיגולים. .I , , , ... . א נסחו במילים שלכם את החוקיות של הסדרה. . ב כמה עיגולים יהיו במקום הרביעי בסדרה? הסבירו. . ג כמה עיגולים יהיו במקום השישי בסדרה? הסבירו. . ד בסדרה? (רשמו את תשובתכם בכתיב חזקות.)500 מה מספר העיגולים שיהיו במקום ה- . ה בסדרה?n מה מספר העיגולים שיהיו במקום ה-
-2כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅱ . א העתיקו למחברתכם ורשמו בכתיב חזקות. 5 · 5 · 5 = 5 )1( (–9) · (–9) = (–9) )6( 7 · 7 · 7 · 7 = 4 )2( (–0.2) · (–0.2) · (–0.2) =_________ )7( 12 · 12 · 12 · 12 · 12 =_________ )3( 5 7 5 7 5 7 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = _________ )8( 0.5 · 0.5 =_________ )4( x · x · x · x · x · x · x = x )9( 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ ⋅ ⋅ = _________ )5( y · y · y · y · y =_________ )10( . ב רשמו את החזקות הבאות בצורת מכפלה (במידת האפשר) וחשבו. 26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 )1( (–0.1)5 =____________________ )7( 54 =____________________ )2( 6 7 4 ( ) − =____________________ )8( 2 3 2 ( ) = ____________________ )3( 04 =____________________ )9( 0.43 =____________________ )4( 110 =____________________ )10( (–4)3=(–4) · (–4) · (–4) = –64 )5( 2.51 =____________________ )11( (–6)2=____________________ )6( (– 4.1)1=____________________ )12( הגדרה (תזכורת) . a a a a ... a n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ פעמים n ומשמעותו: an יירשם בצורת n בחזקת a המספר בסיס החזקה. נקרא a מעריך החזקה.נקרא n a הוא מספר טבעי (מספר שלם וחיובי), והוא מראה כמה פעמים מופיע הגורםn המספר במכפלה. ✔ ✔ a1 = a ✔ ✔ .0n = 0 ובכלל: 02 = 0
-3כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅲ -ב באמצעות המחשבון. Ⅱ בדקו את תוצאות התרגילים שבסעיף 2 2 . רשמו בכתיב חזקות. .ז (–7)·(–7)·(–7) = (–7)3 .א 4·4·4·4·4 = 45 .ח (–5)·(–5)·(–5)·(–5) .ב 7·7·7·7·7·7 .ט – – – 4 5 4 5 4 5 ( ) ( ) ( ) · · .ג 2 7 2 7 2 7 · · 2 7 3 ( ) = .י (–1.3) · (–1.3) .ד 3 4 3 4 3 4 3 4 · · · .יא x·x·x·x·x·x·x = x7 .ה 1.5·1.5·1.5·1.5 =1.54 .יב b·b·b·b·b .ו 0.3·0.3·0.3·0.3 ניתן לבצע את פעולת ההעלאה בחזקה על-ידי שימוש במחשבון. שמופיעים במחשבון (לפי סוג המחשבון). למשל: ∧ או xy ניתן להיעזר במקשים ✔ ✔ :35 חישוב הביטוי 3 3 x 5 243 5 y = → → → = → או 3 3 5 243 5 = → ∧ → → = → ✔✔ :(–3)5 חישוב הביטוי או –3 (–3) 5 –243 5 ( ) = → ∧ → → = → ( ) 5 –3 (–3) x 5 –243 5 y ( ) = → → → = →
-4כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 3 3 . רשמו את החזקות הבאות בצורת מכפלה וחשבו. בדקו את תשובתכם באמצעות מחשבון. .ה 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 4= = ( ) · · · .א 25 = 2·2·2·2·2=32 .ו 3 4 3= ( ) .ב 33 .ז 5 6 2= ( ) .ג 16 .ח 1.53 .ד 104 4 4 . חשבו את החזקות הבאות. .ה (–0.4)2 = (–0.4)·(–0.4) = 0.16 .א (–2)6 = (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2) = 64 .ו (–0.5)3 .ב (–1)5 .ז (–0.6)1 .ג (–3)4 .ח – 1 4 2 ( ) .ד (–7)3 5 5 . .I תזכורת y y , ערך החזקה הוא חיובי.a > 0 הוא מספר חיובי, an כאשר בסיס החזקה 5 , 0.4 , , 2.5 2 3 10 21 45 88 ( ) למשל: y y , ערך החזקה תלוי במעריך:a < 0 הוא מספר שלילי, an כאשר בסיס החזקה ✔ ✔ הוא מספר זוגי, התוצאה היא חיובית.n כאשר המעריך ( 7) , ( 2.3) , 5 7 16 24 40 ( ) − − − למשל, כל הביטויים הבאים חיוביים: ✔ ✔ הוא מספר אי-זוגי, התוצאה היא שלילית.n כאשר המעריך ( 4) , ( 0.8) , 4 9 13 29 51 ( ) − − − למשל, כל הביטויים הבאים שליליים:
-5כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . א קבעו את סימן התוצאה של הביטויים הבאים. )7( (–0.7)19 = )4( (–15)43 = )1( (–3)15 = "–" )8( –(–4)16 = )5( (–9)56 = )2( (–12)40 = "+" )9( –(–12)37 = )6( (–2.5)10 = )3( (–7)20 = . ב קבעו את סימן התוצאה של הביטויים הבאים (הסבירו את ההבדלים ביניהם). .–203 ו - (–20)3 )2( .–204 ו - (–20)4 )1( . Ⅱ קבעו את סימן התוצאה של הביטויים הבאים. .ז (–5)9 = .ד (–8)15 = .א (–5)8 = –(– .ח10)2 = .ה –126 = .ב –711 = .ט –(–12)3 = .ו (–2)6 = .ג –910 = תזכורת y y , ולכן:–a הסוגריים מציינים כי בסיס החזקה הוא (–a)n בביטוי למשל: y y , והסימן "–" מתייחס לכל הביטוי.a בסיס החזקה הוא–an בביטוי לצורך המחשה ניתן לרשום גם כך: למשל: פעמים n = (–a) (–a) (–a) (–a) (–a) · · · ... · n פעמים 4 = = (–2) (–2) (–2) (–2) (–2) 16 · · · 4 פעמים n = = –a 1 a –1 a a a a n – · n · · · · . . . · פעמים 4 = = –3 1 3 3 3 3 –1 81= –81 – · · · · · 4
-6כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 6 6 . א. חשבו את ערכם של הביטויים הבאים. )9( –14 )5( –(–3)5 )1( (–2)4 (10) – 2 5 2 ( ) )6( (–1)4 )2( (–3)5 )11( –(–4)2 )7( ( )1 2 3 )3( 53 (12) 2 3 4 ( ) )8( –83 )4( ( ) –3 4 2 . ב כדי לעבור את המבוך מתחילתו ועד סופו, יש לצאת למסע ב"גישה חיובית", כלומר יש לפתור את כל התרגילים הבאים ולעבור רק דרך התאים שתוצאת התרגיל בהם היא חיובית. סרטטו באמצעות חיצים את המסלול. 7 7 . ) בתרבית חיידקים מתחלק כל חיידק לשניים כל שעה. 1( חיידקים מחיידק אחד?32 תוך כמה שעות ייווצרו התחלה סוף – 1 2 5 ( ) –3 5 2 ( ) 1 2 8 ( ) ( ) – 1 4 3 –2 –3 2 ( ) (–2)2 –16 (–1)8 (–3)4 –0.13 –(8)2 – (–6)3 –18 (–0.1)3 –72 ( ) −1 2 2
-7כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ) הוסיפו את מעריך החזקה בתוך הריבוע כדי שיתקיים שוויון. 2( .י 1 2 1 4 = ( ) .ז (–2) – 128 = .ד 3 81 = .א 10 100 = .יא 2 3 8 27 = ( ) .ח (–7) 49 = .ה 6 36 = .ב 3 27 = .יב –4 5 16 25 = ( ) .ט (–2) – 8 = .ו 10 1000 = .ג 5 125 = (( ( 3 .52 , 53 , 54 , 55 , ... א. התבוננו בתוצאות של החזקות: באיזו ספרה מסתיימות התוצאות של כל החזקות הללו? . ב ? הסבירו.5k = 676 כך שמתקיים ,k האם יש מספר שלם . ג ? הסבירו.5 כחזקה שלמה של17563 האם ניתן לרשום את המספר 8 8 . ?125 כדי לקבל את המספר3 ) איזה מספר יש להעלות בחזקת 1( ?256 כדי לקבל את המספר4 ) איזה מספר יש להעלות בחזקת 2( ) הוסיפו את בסיס החזקה בתוך הריבוע כדי שיתקיים שוויון. 3( .ז – 8 3 = .ד 16 4 = .א 8 3 = .ח – 32 5 = .ה 2 1 4 = .ב 25 2 = .ט –1 7 = .ו 3 1 125 = .ג 81 4 =
-8כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 9 9 . 10 . כל איבר בסדרה, החל באיבר השני, גדול פי10 נתונה סדרת מספרים, שבה האיבר הראשון הוא מהאיבר שלפניו. . א בסדרה.5ציינו איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים מייצג את האיבר ה- 510 )4( 105 )3( 10 + 5 )2( 5 · 10 )1( . ב (מיליארד)? 1,000,000,000 באיזה מקום בסדרה נמצא המספר 10 1 0 ס"מ. a נתונה קובייה שאורך צלעה . א ציינו איזה ביטוי מבטא את נפחה של הקובייה. a3 )4( 3a )3( 3a )2( 3a2 )1( . ב סמ"ק?64 , אם נפח הקובייה הואa מהו הערך של סיכום הפרק (חזקות עם מעריך טבעי) y y . = a a ·a ·a ·... ·a n פעמים n , ומשמעותו:an יירשם בצורת nבחזקהa המספר ✔ ✔ נקרא "בסיס החזקה", והוא מספר כלשהו. a ✔ ✔ נקרא "מעריך החזקה", והוא מספר טבעי (חיובי ושלם). n (–10)4 = (–10) · (–10) · (–10) · (–10) , 63 = 6 · 6 · 6 דוגמאות: y y .חיובי, ערך החזקה הואa > 0 הוא מספר חיובי, an כאשר בסיס החזקה 34 = 81 , 23 = 8 דוגמאות: y y במעריך: תלוי, ערך החזקהa < 0 הוא מספר שלילי, an כאשר בסיס החזקה ✔ ✔ הוא מספר זוגי, התוצאה היא חיובית.n כאשר המעריך ✔ ✔ הוא מספר אי-זוגי, התוצאה היא שלילית.n כאשר המעריך דוגמאות: , כלומר מספר זוגי.6 הוא חיובי, כי המעריך הוא (–12)6 ערך הביטוי , כלומר מספר אי-זוגי.7 הוא שלילי, כי המעריך הוא (–12)7 ערך הביטוי y y a , תוצאת פעולת החזקה היא n =1 , כלומר1 הוא an כאשר מעריך החזקה .a1 = a שווה למספר עצמו):1 (כל מספר בחזקת ( ) = = = – – , (–7) – 7 , 5 5 2 3 2 3 1 1 1 דוגמאות: y y .0n = 0 , תוצאת החזקה היא אפס: a = 0 , הוא אפס an כאשר בסיס החזקה 012 = 0 , 07 = 0 , 05 = 0 דוגמאות: ( – ) אי-זוגי = – , ( – ) זוגי = +
-9כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סדר פעולות החשבון עם חזקות בפרק זה נחזור ונעסוק בסדר פעולות החשבון בביטויים שבהם מופיעה פעולת החזקה. מה נלמד? ✔ ✔ נחזור ונרחיב את הלימוד בנושא סדר פעולות החשבון בביטויים, שבהם מופיעות ארבע פעולות החשבון עם חזקות, כאשר בביטויים אין סוגריים. ✔ ✔ נחזור ונרחיב את הלימוד בנושא סדר פעולות החשבון בביטויים, שבהם מופיעות ארבע פעולות החשבון עם חזקות, כאשר בביטויים יש סוגריים. לדרך... תרגילים )66 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 11 1 1 תזכורת פעולה בסוגריים קודמת לפעולות אחרות. בהיעדר סוגריים פעולת החזקה קודמת לפעולות הכפל והחילוק, ואלה קודמות לפעולות החיבור והחיסור. דוגמאות א.. 2 + 32 = 2 + 9 = 11 הסבר: מכיוון שבתרגיל זה אין סוגריים, פעולת החזקה קודמת לפעולת החיבור. ב.. (2 + 3)2 = 52 = 25 הסבר: מכיוון שבתרגיל זה יש סוגריים, מבצעים תחילה את הפעולה שבסוגריים. ג.. 2 · 32 = 2 · 9 = 18 הסבר: מכיוון שבתרגיל זה אין סוגריים, פעולת החזקה קודמת לפעולת הכפל. ד.. (2 · 3)2 = 62 = 36 הסבר: מכיוון שבתרגיל זה יש סוגריים, מבצעים תחילה את הפעולה שבסוגריים.
-10כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חשבו. א.. 12 + 42 = ב.. 82 – 50 = ג.. 2 · 42 = ד.. 80 : 42 = ה.. 102 + 33 = ו.. 92 – 43 = ז.. 52 · 24 = ח.. 102 : 22 = ט.. 43 : 24 + 4 · 34 = י.. 80 : 42 · 32 = אי.. (1 + 2)3 = בי.. (5 – 3)4 = גי. . (4 · 1)2 = די.. (14 : 7)5 = וט. . 3 (10 – 23) = זט. . 102 · 3 – (52 – 6 · 4) = 12 1 2 חשבו. .ט 45 : 32 = 45 : 9 = 5 .ה 2 · 54 = 2 · 625 = 1250 .א 3+24 = 3 + 16 = 19 .י 128 : 42 .ו 7 · 22 .ב 10 – 23 .יא 500 : 53 .ז 5 · 43 .ג 1 + 102 .יב 63 : 8 .ח 82 · 5 .ד 54 – 7
-11כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 13 1 3 חשבו. .ה 32 · 23 .א 53 + 34 = 125 + 81 = 206 .ו 25 · 33 .ב 28 + 82 .ז 53 · 22 .ג 52 + 34 .ח 103 : 53 .ד 27 – 42 14 1 4 .5 · 2n מיוצג על-ידי הביטויnנתונה סדרת מספרים, שבה האיבר שבמקום ה- חשבו את ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה. 15 1 5 חשבו. .א 3 · 53 – 43 : 8 = 3 · 125 – 64 : 8 = 375 – 8 = 367 .ב 4 · 92 – 3 · 24 .ג 100 : 52 + 32 · 2 .ד 7 · 42 – 40 : 23 .ה 45 : 32 – 80 : 24 16 1 6 חשבו. .א 75 : 52 · 25 = 75 : 25 · 32 = 3 · 32 = 96 .ב 48 : 24 · 62 .ג 62 · 10 : 23 .ד 210 : 42 : 25 .ה 52 · 24 · 32 17 1 7 הבאים.x. חשבו את ערך הביטוי עבור כל אחד מערכי ה-2x3 – 3x2 נתון הביטוי האלגברי x = 2 ב. x = 4 א.
-12כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 18 1 8 ס"מ, הניחו a על קובייה, שאורך צלעה ס"מ.b קובייה קטנה יותר, שאורך צלעה . א רשמו ביטוי אלגברי, המייצג את נפח הגוף שהתקבל. . ב ,a =ס"מ8 מהו הנפח של גוף זה, אם ?b =ס"מ6 ו - 19 1 9 חשבו. .א (4 + 1)3 = 53 = 125 .ד (2 · 2)3 .ב (5 + 2)2 .ה (8 : 8)6 .ג (9 – 7)3 20 2 0 חשבו. א.. 6 · (15 – 32) = 6 · (15 – 9) = 6 · 6 = 36 ב.. 4 · (50 – 43) ג.. 2 · (52 + 5) ד.. 3 · (24 – 25) 21 2 1 חשבו. א.. 15 + 2 · (32 – 3 · 4) = 15 + 2 · (9 – 12) = 15 + 2 · (–3) = 15 – 6 = 9 ב.. 20 – 3 (4 · 5 – 42) ג.. 52 · 3 – (4 + 2 · 3) ד.. 72 · 2 – (53 – 4 · 25) דוגמאות פתורות חשבו: – 4 · (–6)2 ד. (–5)3 : (–2) ג. (–11)2 – 81 ב. 10 + (–3)3 א. שימו לב! בתרגילים הללו הסוגריים משמשים לצורך ציון הסימן של בסיס החזקה - ולא לצורך הדגשת סדר הקדימויות בפעולות החשבון. פתרון: א.. 10 + (–3)3 = 10 + (–27) = 10 – 27 = –17 ב.. (–11)2 – 81 = 121 – 81 = 40 ג.. (–5)3 : (–2) = –125 : (–2) = 62.5 ד.. – 4 · (– 6)2 = – 4 · 36 = –144
-13כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 22 2 2 לפניכם תרגילים ולידם אותיות המוקפות במעגל. פתרו את התרגילים, וסדרו את התוצאות שלהם בסדר עולה: מהמספר הקטן ביותר למספר הגדול ביותר. רשמו מעל כל מספר את האות הרשומה ליד התרגיל המתאים למספר. איזה משפט קיבלתם? ה (–4)2 · 5 ע 5 + (–2)3 ע (–1)6 · 12 ת 12– (–1)2 י 100 : (–10)2 ד (–4)3 + 20 ל (–8)2 : 16 ג 4 · (–2)4 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ הקטן הגדול ביותר ביותר 23 2 3 חשבו. .ג (–1)4 · 23 – 62 .א 150 : (–5)2 + 3 .ד – 42 · 3 + 5 · (–2)2 .ב 4 · (–3)3 + 4 24 2 4 הבאים.x . חשבו את ערך הביטוי עבור כל אחד מערכי ה-2x2 – 4x + 1 נתון הביטוי האלגברי x = –3 ב. x = 1 א. 25 2 5 הבאים.x. חשבו את ערך הביטוי עבור כל אחד מערכי ה-2x3 – x2 + 4x – 7 נתון הביטוי האלגברי x = –1 ג. x = 0 ב. x = 5 א. 26 2 6 הבאים.yוה- x. חשבו את ערך הביטוי עבור כל אחד מערכי ה-3x2 – 4y3 נתון הביטוי האלגברי x = –1 , y = –5 ג. x = 3 , y = –2 ב. x = 2 , y = 3 א.
-14כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 27 2 7 .5 · (–3)n + 4 מיוצג על-ידי הביטויnנתונה סדרת מספרים, שבה האיבר שבמקום ה- חשבו את שלושת האיברים הראשונים של הסדרה. 28 2 8 חשבו. א.א 4 – [(–5)2 + 3] ב.ב [(–2)3 + 42] ·9 ג.ג 5 · [(–3)2 – 24] ד.ד [4 · (–5)2 – 3] · (–2) 29 2 9 חשבו. (3 – 22)3 ד. (32 – 1)2 ג. (–4 + 9)3 ב. (10 – 7)2 א. סיכום הפרק (סדר פעולות החשבון עם חזקות) פעולה בסוגריים קודמת לפעולות אחרות. בהיעדר סוגריים פעולת החזקה קודמת לפעולות הכפל והחילוק, ואלה קודמות לפעולות החיבור והחיסור. דוגמאות א.א 23 + 32 = 2 · 2 · 2 + 3 · 3 = 8 + 9 = 17 ב.ב 63 : 22 = (6 · 6 · 6) : (2 · 2) = 216 : 4 = 54 ג.ג 42 : 23 + 3 · 52 = 16 : 8 + 3 · 25 = 2 + 75 = 77 ד.ד 4 · 32 – (23 – 5 · 2) = 4 · 9 – (8 – 10) = 36 – (–2) = 36 + 2 = 38
-15כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מכפלה ומנה של חזקות בעלות בסיס זהה .5 , ובמקרה זה הבסיס הואחזקות בעלות בסיס שווה. ביטויים אלה נקראים54 , 53 , 57 נתבונן בביטויים דוגמאות נוספות לחזקות בעלות בסיס שווה: וכו'. y10 ו- y7 , x4 ו- x3 , 1 2 11 ( ) ו- 1 2 21 ( ) ,47 ו- 43 מה נלמד? ✔ ✔ נלמד את כלל הכפל של חזקות בעלות בסיס שווה. ✔ ✔ נלמד את כלל החילוק של חזקות בעלות בסיס שווה. לדרך... תרגילים )68 - 66 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 30 3 0 א. השלימו. .I (1) 53 · 52 = (5 · · ) · ( · ) = · · · · = 5 (2) 45 · 43 = ( · · · · ) · ( · · ) = · · · · · · · = 4 (3) 64 · 62 = ( · · · ) · ( · ) = · · · · · = . ב .72 · 73 נתון הביטוי (( ( 1 רשמו את הביטוי הנתון בצורת מכפלה, ללא כתיב חזקות. (( ( 2 רשמו את הביטוי הנתון בכתיב חזקות. (( ( 3 היעזרו בתובנות של הסעיפים הקודמים, וציינו איזה שוויון הוא הנכון. הסבירו. 72 · 73 = 72 · 3 (ii) 72 · 73 = 72 + 3 (i)
-16כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 93 · 94 נתון הביטוי .II ציינו לאיזה ביטוי מבין הביטויים הבאים שווה הביטוי הנתון. 97 )4( 817 )3( 912 )2( 8112 )1( (הדרכה: היעזרו בתובנות של הסעיף הקודם.) . Ⅲ רשמו בכתיב חזקות. .ה (–5)3 · (–5)11 = .א 72 · 74 = 72+4 = 76 .ו – – 3 11 3 11 2 ( ) ( ) · = .ב 47 · 43 = .ז (–0.4)5 · (–0.4) = .ג 2 3 2 3 5 4 ( ) ( ) · = .ח x5 · x7 = .ד 2.43 · 2.4 = 31 3 1 רשמו בכתיב חזקות. .ז (–2)4 · (–2)6 .ד 1 2 1 2 4 7 ( ) ( ) ⋅ = .א 43 · 42 = 45 .ח – 2 3 – 2 3 4 3 ( ) ( ) ⋅ = .ה 3 4 3 4 10 2 ( ) ( ) ⋅ = .ב 35 · 37 .ט –2.5 –2.5 3 ( ) ( ) ⋅ = .ו 1.42 · 1.43 .ג 10 · 1012 כלל an · ak = an + k כאשר כופלים חזקות בעלות בסיסים שווים, התוצאה המתקבלת היא חזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה שווה לסכום מעריכי החזקות המוכפלות. דוגמה · · · · · · · · a a a a a a a a a a a a 6 2 6 2 8 = = = + פעמים 2 פעמים 6
-17כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 32 3 2 . ציינו את הביטויים השווים לביטוי הנתון. הסבירו.75 · 73 · 74 א. נתון הביטוי 712 )5( 75 · 77 )3( 78 · 74 )1( 74 · 73 · 75 )6( 75 · 74 · 73 )4( 760 )2( . ב רשמו את התרגילים הבאים בכתיב חזקות. שבצו את המעריכים של התשובות שקיבלתם במקומות הריקים שבריבוע בהתאם למספור התרגיל. אם פתרתם נכון את כל התרגילים, תקבלו ריבוע קסם, שבו סכום המספרים בכל שורה, בכל טור ובכל אחד מהאלכסונים הוא זהה. (1) 82 · 86 · 88 = 82 + 6 + 8 = 816 (2) 24 · 26 · 23 (3) 72 · 75 · 73 (4) (–3)5 · (–3)2 · (–3) (5) – – – 1 2 1 2 1 2 3 2 4 ( ) ( ) ( ) · · (6) a2 · a4 · a = a2 + 4 + 1 = a7 (7) b4 · b2 · b6 (8) y · y2 · y (9) x8 · x6 · x 33 3 3 . ציינו את הביטויים השווים לביטוי הנתון. הסבירו.54 · 23 · 52 · 26 א. נתון הביטוי 29 · 56 )5( 10014 )3( 54 · 52 · 23 · 26 )1( 56 · 29 )6( 23 · 26 · 54 · 52 )4( 107 · 108 )2( (1) (5) (8) (3) (9) (6) (2) (4) (7) 3 5 14 1 6 2 11
-18כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב רשמו בכתיב חזקות. ( (1) 23 · 32 · 34 · 2 = 23 · 2 · 32 · 34 = 23 + 1 · 32 + 4 = 24 · 36 ( (2) 34 · 52 · 33 · 54 ( (3) 93 · 7 · 9 · 79 ( (4) 42 · 35 · 32 · 43 · 3 ( (5) a3 · b2 · a · b5 = a3 + 1 · b2 + 5 = a4 · b7 ( (6) a5 · b4 · a2 · b7 ( (7) a2 · b3 · a3 · b4 ( (8) x3 · y2 · y · x4 34 3 4 איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים שונה בערכו מן השאר? 115 · 11 )4( 114 · 112 )3( 114 +112 )2( 11 · 11 · 11 · 11 · 11 · 11 )1( 35 3 5 .55 ציינו את הביטויים השווים לביטוי 54 + 5 )4( 52 · 5 · 5 · 5 )3( 53 · 52 )2( 5 + 5 + 5 + 5 + 5 )1( 36 3 6 .33 · 75 · 74 · 32 רשמו לפחות שלושה ביטויים שונים, הכוללים חזקות ושווים לביטוי 37 3 7 רשמו בכתיב חזקות את הביטויים הבאים. .א 2x3 · 3x4 = 2 · 3 · x3 · x4 = 6x7 .ב 5x6 · 2x2 .ג –3a4 · 5a3 .ד –2y · (–3) · y4 .ה 2x5 · (–3x2)
-19כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 38 3 8 הוסיפו את מעריך החזקה בכל אחד מהביטויים הבאים. .ג (–3)4 · (–3) = (–3)7 .א 23 · 2 = 27 .ד 53 · 5 = 54 .ב 12 · 1215 = 1218 39 3 9 הוסיפו את הביטוי החסר בכל אחד מהתרגילים הבאים. .ג 5a3 · 2a = 10a9 .א 2x3 · · x4 = 10x7 .ד –4c · 2c3 = –8c6 .ב –3k3 · · k7 = 12k10 דוגמה פתורה הוסיפו את מעריך החזקה בביטוי הבא: 7 7 7 4 9 = · פתרון: , כלומר: ? נסמן את המספר שיש לרשום בתוך הריבוע ב- 7 7 7 4 ? 9 = · מכיוון שבמכפלת חזקות בעלות בסיס שווה מחברים את המעריכים, לכן השאלה היא: ? 9 כדי לקבל4 איזה מספר יש לחבר ל- 4 + ? = 9 כלומר: , ואכן: 5 התשובה היא 74 · 75 = 74 + 5 = 79 דוגמאות פתורות הוסיפו את הביטוי החסר בכל אחד מהתרגילים הבאים. . א 3b · 5b2 = 15b5 ב. 3y2 · · y5 = 6y7 פתרון: . א . 3 · ? = 6 , ולכן השאלה היא: y2 · y5 = y7 , ואכן: 2 מכאן שבתוך הריבוע יש לרשום את המספר 3y2 · 2 · y5 = 3 · 2 · y2 + 5 = 6 · y7 . ב b? · b2 = b5 , ולכן השאלה היא: 3 · 5 = 15 . ? + 2 = 5 או אחרת: , ואכן: 3 מכאן שבתוך הריבוע יש לרשום את המספר 3b3 · 5b2 = 3 · 5 · b3 + 2= 15b5
-20כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 40 4 0 . 2 2 6 3 א. שלוש תלמידות התבקשו לפשט את הביטוי .I תמר אמרה: אני יכולה לצמצם את הבסיסים השווים. = = = =1 2 2 2 2 1 1 1 1 6 3 1 6 1 3 6 3 יעל אמרה: אני יכולה לרשום את המונה והמכנה כמכפלה ולצמצם. = = = · · · · · · · · · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 3 ענת אמרה: אני יכולה לצמצם את המעריכים. = = = =2 2 2 2 2 2 2 4 2 6 3 6 2 3 1 2 1 מי לדעתכם צודקת? אמתו את תשובתכם באמצעות חישובים (במידת הצורך השתמשו במחשבון). . ב הוסיפו את החסר ופשטו את הביטויים הבאים. בדקו את נכונות תשובתכם באמצעות מחשבון. (1) = = = · · · · · · · · · 5 5 5 5 6 2 (2) = = = · · · · · · · 7 7 5 3 (3) = = = 8 8 7 6
-21כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 3 3 8 4 א. נתון הביטוי .II היעזרו בתובנות של הסעיפים הקודמים, וציינו איזה שוויון הוא הנכון. הסבירו. = − 3 3 3 8 4 8 4 )2( =3 3 3 8 4 8:4 )1( . איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים שווה לו? הסבירו. 2 2 8 4 ב. לפניכם הביטוי 04 )4( 24 )3( 22 )2( 12 )1( . Ⅲ רשמו בכתיב חזקות. .ה (–2.5) (–2.5) 7 4 = .א 8 8 8 8 5 3 5–3 2 = = .ו (–3.4)10 : (–3.4)8 = .ב 6 6 7 4 = .ז 1 2 1 2 7 6 ( ) ( ) = .ג 12 12 15 14 = .ח y y 5 4 = .ד (–5) (–5) 4 2 = כלל ) a ≠ 0 ( ).k גדול מ- n (כאן דנים במקרה שבו כאשר מחלקים חזקות בעלות בסיסים שווים, התוצאה המתקבלת היא חזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה שווה להפרש בין מעריך החזקה שבמונה למעריך החזקה שבמכנה. דוגמה = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − a a a a a a a a a a a a a a a a 7 5 7 5 2 a a a n k n k = −
-22כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 41 4 1 רשמו בכתיב חזקות. .ז (–4) (–4) 8 3 .ד x x 8 3 .א 5 5 5 5 9 5 9–5 4 = = .ח (–1.5) (–1.5) 4 3 .ה a a 2 .ב 2 2 15 11 .ט – 2 3 – 2 3 10 3 ( ) ( ) .ו y y 4 .ג 9 9 7 42 4 2 פשטו את הביטויים הבאים על-ידי שימוש בחוקי החזקות, וחשבו. .ד 2 3 2 3 4 27 108 2 3 2 3 2 3 10 13 8 10 10–8 13–10 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = · .א 2 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 7 4 3 5 7 4 3 5 11 8 11–8 3 = = = = = + + · · .ה 5 7 5 7 20 17 17 15 ⋅ ⋅ .ב 3 3 3 3 6 4 5 2 · · .ו 3 10 3 10 7 8 5 7 ⋅ ⋅ .ג 7 7 7 7 5 6 8 · · 43 4 3 רשמו בכתיב חזקות. .ד 20x y –5x y 4 7 3 5 .א · · a a a a a a a a a a 5 7 3 5 7 1 3 12 4 12 4 8 = = = = + + − .ה –12x y –4x y 10 3 8 3 .ב b b b b 10 3 4 5 · · .ו –21a b 7a b 10 2 9 .ג x x x x 10 5 5 6 · · 44 4 4 איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים שונה בערכו מן השאר? –12a –2a 6 )4( 2a5 · 3a )3( 24a 4a 7 2 )2( 2a3 · 3a2 )1(
-23כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 45 4 5 הוסיפו את הביטוי החסר בכל אחד מהתרגילים הבאים. .ג –10k 20 –2k8 2 = .א 5x 15x x 7 2 5 = .ד 5c –25c7 = .ב – 4a –12a 3 14 2 = דוגמאות פתורות הוסיפו את הביטוי החסר בכל אחד מהתרגילים הבאים. . א –4 – 6b 24b20 16 = ב. 5y 20y y 14 8 6 = פתרון: כדי להחליט איזה ביטוי יש לרשום בתוך הריבוע, נטפל בנפרד במספרים, ובנפרד במשתנים בכל אחד מהתרגילים. . א . = ⋅ 5y 20 y y 14 8 6 נרשום את התרגיל כך: y y . =5 20 לגבי המספרים: השאלה היא . =5 20 4 , שהרי 4 מכאן שבתוך הריבוע יש לרשום את המספר y y , מכיוון שבחילוק חזקות בעלות בסיס שווה מחסרים מעריכים. y y 14 y8 6 = לגבי המשתנים ואכן: 5 y 5y 20y 4 y 20 4 y y 14 8 14 8 14–8 6 = = = · · · . ב . – 4 – 6b 24 b20 16 ⋅ = נרשום את התרגיל כך: y y . – 6 24 – 4 = לגבי המספרים: y y . =b b20 16 לגבי המשתנים: השאלה היא . =b b b 20 ? 16 , כלומר: b הביטוי חייב להיות חזקה של .20 – ? = 16 נשאלת השאלה: , ואכן: b4 ובתוך הריבוע יש לרשום את הביטוי ,4 מכאן שהמספר הוא · · – 6 b – 6b 24b – 4b 24 – 4 b b 20 4 20 4 20–4 16 = = =
-24כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © סיכום הפרק (מכפלה ומנה של חזקות בעלות בסיס שווה) y y an · ak = an + k דוגמאות א.. 53 · 54 = 53 + 4 = 57 ב.. 72 · 74 · 73 = 79 ג.. 23 · 53 · 54 · 27 = 23+7 · 53+4 = 210 · 57 y y ) a ≠ 0 ( =a a a n k n–k ).k- גדול מ n (כאן דנים במקרה שבו דוגמאות ד.. = = 4 4 4 4 7 2 7–2 5 ה.. 2 5 5 2 2 5 2 5 2 2 5 5 6 3 4 6 3 4 6 4 3 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =26–4 · 53–1 = 22 · 52
-25כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חזקה של חזקה .4 ומעלים אותו בחזקת ,83 . אנו רואים שבתוך הסוגריים מופיע(83)4 נתבונן בביטוי .חזקה של חזקה אוהעלאת חזקה בחזקהקוראים (83)4 לכן לביטוי .וכו׳ (x2)3 , (2.54)2 , (32)5 דוגמאות: מה נלמד? ✔ ✔ נלמד כללים לפישוט ביטויים המכילים "חזקה של חזקה". ✔ ✔ נלמד פתרון משוואות בסיסיות תוך שימוש בכללי הפישוט של העלאת חזקה בחזקה. לדרך... תרגילים )68 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 46 4 6 .(32)4 נתון הביטוי .I . א לדעתכם, אילו מבין הביטויים הבאים שווה לביטוי הנתון? הסבירו. (3 · 3) · (3 · 3) · (3 · 3) · (3 · 3) )5( 94 )3( 32 · 32 · 32 · 32 )1( (3 · 3)4 )4( 64 )2( . ב ) היעזרו בתובנות של הסעיף הקודם, וקבעו איזה פישוט הוא הנכון. 1( (32)4 = 32·4 = 38 (ii) (32)4 = 32+4 = 36 )i( (( ( 2 בצעו את החישובים הנדרשים (ניתן להיעזר במחשבון), ואמתו את תשובתכם. לפחות בשתי דרכים שונות (במידת הצורך היעזרו בסעיף הקודם). (24)3 רשמו את הביטוי .II . היעזרו במחשבון לצורך חישוב הביטוי.(53)4 רשמו בכתיב חזקות את הביטוי .III
-26כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . Ⅳ רשמו בכתיב חזקות. (34)2 = 34·2 = 38 .א ((–3)4)5 = .ה (73)2 = .ב ((–1)4)2 = .ו (102)5 = .ג (a2)6 = .ז 1 3 4 5 ( ) ( ) = .ד (y5)7 = .ח כלל ( an ) k = ak · n = ank כאשר מעלים חזקה בעלת בסיס מסוים בחזקה מסוימת, התוצאה המתקבלת היא חזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה שווה למכפלה של מעריכי החזקות. הסבר: ).k · n = n · k (תזכורת: לפי חוק החילוף בכפל דוגמה . (26)3 רשמו בכתיב חזקות את הביטוי פתרון: פעמים, כלומר: 3 בעצמו26 . פירושו של דבר שכופלים את3 מופיע בחזקת26 הביטוי (26)3 = 26 · 26 · 26 מכאן ניתן להסביר את המשך התרגיל בשתי דרכים: פעמים, כלומר: 6 בעצמו2 הוא מכפלה של המספר26 דרך א' - כל אחד מהגורמים 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 6 6 6 18 ( ) = = = = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · פעמים 6 פעמים 6 פעמים 6 פעמים 18 בסך-הכול . 6 · 3 = 18 , כלומר בוצע כפל של המעריכים (26)3 = 218 מכאן שמתקיים: דרך ב' - ניתן להשתמש בכלל של מכפלת חזקות בעלות בסיסים שווים, ולכן: (26)3 = 26 · 26 · 26 = 26 + 6 + 6 = 218 .(26)3 = 218 אנו רואים שגם כאן: .(26)3 = 26 · 3 = 218 במילים אחרות: (a ) a a a ... a a a a n k n n n n n n n ... n kn nk = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = + + + + פעמים k פעמים k
-27כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 47 4 7 רשמו בכתיב חזקות. .ג (54)4 .א (25)3 = 25 · 3 = 215 .ד (105)2 .ב (34)2 48 4 8 רשמו בכתיב חזקות. .ג (y )2 10 = .א (a )3 2 = .ד (a )2 6 = .ב (b )4 5 = 49 4 9 ק"מ.10000 המרחק האווירי בין שתי מדינות הוא אילו מההיגדים הבאים הוא נכון? . א ק"מ.105 המרחק בין המדינות הוא . ב ק"מ. (102)2 המרחק בין המדינות הוא . ג ק״מ.103· 10 המרחק בין המדינות הוא . ד ק״מ. (102)3 המרחק בין המדינות הוא . ה ק"מ. 10 10 7 3 המרחק בין המדינות הוא 50 5 0 רשמו בכתיב חזקות. .ה (24 · 26)2 = (24 + 6)2 = (210)2 = 210 · 2 = 220 .א (23)4 · (25)2 = 23·4 · 25·2 = 212 · 210 = 222 .ו (37 · 3 · 32)3 .ב (34)2 · (33)6 .ז (a2 · a · a6)4 .ג (a2)4 · (a3)8 .ח (x2 · x7 · x)5 .ד (b4)6 · (b5)3
-28כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 51 5 1 איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים שונה לאחר הפישוט? (x3 · x3)2 )4( x3 · x7 · x )3( (x2)6 )2( x x x x 4 17 3 6 · · )1( 52 5 2 .(x5)2 ציינו את הביטויים השווים לביטוי x2 · x2 · x2 · x2 · x2 )4( x5 · x2 )3( (x2)5 )2( x5 · x5 )1( 53 5 3 פשטו את הביטויים הבאים על-ידי שימוש בחוקי החזקות, וחשבו. הקיפו את האותיות המופיעות מתחת לפתרונות של התרגילים. איזה משפט קיבלתם? .א 5 5 25 (5 ) (5 ) 5 5 5 5 4 8 3 10 4 8 3 10 32 30 32–30 2 = = = = = · · .ב (3 ) (3 ) 4 7 5 5 .ג (10 ) (10 ) 12 3 7 5 .ד (2 ) 2 (2 ) (2 ) 4 3 20 2 2 4 6 ⋅ ⋅ .ה (4 ) 3 4 (3 ) 4 3 20 10 6 3 ⋅ ⋅ .ו (7 ) (6 ) 6 7 4 2 5 4 19 8 ⋅ ⋅ 19 25 13 30 27 10 100 80 17 16 144 48 12 6 ל י ג ו ה פ ט ז א מ ס ק ד ח
-29כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 54 5 4 רשמו בכתיב חזקות. .א a a (a ) (a ) a a a a 3 10 4 7 310 4 7 30 28 30 28 2 = = = = ⋅ ⋅ − .ב (b ) (b ) 3 6 4 4 .ג (a ) a a (a ) 4 8 30 8 3 7 ⋅ ⋅ .ד (x ) y y (x ) 10 2 20 10 7 2 ⋅ ⋅ 55 5 5 .81ציינו את הביטויים השווים ל- ⋅ ⋅ (3 ) 3 (3 ) 3 3 2 5 2 2 3 )4( 3 (–3) 6 2 )3( [(–32)]2 )2( –32 · (–3)2 )1( סיכום הפרק (חזקה של חזקה) y y (an)k = ak · n = an · k דוגמאות א.. (74) 8 = 74 · 8 = 732 ב.. (x4)6 = x4 · 6 = x24 ג.. = = = = 3 3 (3 ) (3 ) 3 3 3 3 5 4 4 2 5 · 4 4 · 2 20 8 20–8 12
-30כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © חזקה של מכפלה ושל מנה נתבונן בשני הביטויים הבאים: . ( )3 7 4 הביטוי השני: .(3 · 7) 4 הביטוי הראשון: .4 ומעלים אותה בחזקת ,3 · 7 אנו רואים שבביטוי הראשון מופיעה בתוך הסוגריים המכפלה .חזקה של מכפלהקוראים (3 · 7)4 לכן לביטוי וכו׳. (3 · 9)7 , (2 · 5)3 דוגמאות: .4 , ומעלים אותה בחזקת 3 7 כמו כן אנו רואים שבביטוי השני מופיעה בתוך הסוגריים מנה (חילוק) .חזקה של מנהקוראים ( )3 7 4 לכן לביטוי וכו׳. ( )6 5 4 , ( )2 5 9 דוגמאות: מה נלמד? ✔ ✔ פישוט ביטויים הכוללים ״חזקה של מכפלה״. ✔ ✔ פישוט ביטויים הכוללים ״חזקה של מנה״. לדרך... תרגילים )69 - 68 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 56 5 6 ס"מ. הגדילו כל אחת2 נתונה קובייה שאורך צלעה הוא .I , וקיבלו קובייה חדשה.5 מצלעות הקובייה פי . א מהו נפח הקובייה החדשה בסמ"ק? ).x3 הואx (תזכורת: נפח קובייה שאורך צלעה . ב .2 ס״מ. הגדילו כל אחת מצלעות הקובייה פי x נתונה קובייה שאורך צלעה איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים מייצג את נפח הקובייה (בסמ״ק)? הסבירו. 3 · 2x )4( (2x)3 )3( 2 · x3 )2( 23 · x )1( . ג .)b > 1( b ס"מ. הגדילו כל אחת מצלעות הקובייה פי a נתונה קובייה שאורך צלעה איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים מייצג את נפח הקובייה (בסמ"ק)? הסבירו. ba3 )4( 3ab )3( (ab)3)2( ab3 )1( ס"מ 2 ס"מ 2 ס"מ 2
-31כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .(3 · 5)3 א. נתון הביטוי .II לאילו ביטויים מבין הביטויים הבאים שווה הביטוי הנתון? הסבירו. (במידת הצורך היעזרו במחשבון.) 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 )5( 3 · 5 · 5 · 5 )3( (5 · 3)3 )1( (3 · 3 · 3) · (5 · 5 · 5) )6( 3 · 5 · 3 · 5 · 3 · 5 )4( (3 · 5) (3 · 5) (3 · 5) )2( . ב בכתיב של מכפלת חזקות ללא שימוש בסוגריים ומבלי (7 · 4)5 יואב התבקש להציג את הביטוי לחשב. (7 · 4)5 = 75 · 45 יואב רשם כך: היעזרו בסעיפים הקודמים, והסבירו את הפתרון של יואב. . ג - ג (נפח הקובייה) ללא שימוש Ⅰ היעזרו בסעיפים הקודמים, ורשמו את התשובה של סעיף בסוגריים. . ד .(a · b)n = an · bn דניאל טען כי: האם טענתו נכונה? הסבירו את תשובתכם. . Ⅲ פתחו סוגריים ורשמו כמכפלה של חזקות. )5( (22 · 3)5 = (22)5 · 35 = 210 · 35 )1( (2 · 7)6 = )6( (5 · 43)5 = )2( (4 · 3)8 = )7( (22 · 34)3 = )3( (2 · 4 · 3)5 = )8( (43 · 72)6 = )4( (3 · 7 · 5)4 = כלל (a · b)n = an · bn חזקה של מכפלה של שני מספרים היא מכפלת החזקות שלהם באותו מעריך. הסבר - דוגמה: (4 · 5)3 = (4 · 5) (4 · 5) (4 · 5) = 4· 5 · 4 · 5 · 4 · 5 = פעמים 3 פעמים 3 4 4 4 5 5 5 4 5 3 3 = · · · · · · .(4 · 5)3 = 43 · 53 כלומר:
-32כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 57 5 7 פתחו סוגריים ורשמו כמכפלה של חזקות. . Ⅰ .א (4 5) 4 5 3 3 3 ⋅ = ⋅ .ד (2 5 9)3 ⋅ ⋅ = .ב (2 7)5 ⋅ = .ה ⋅ ⋅ = (3 2 7)4 .ג ( 4 5)2 ⋅ = II I I לכל אחד מהתרגילים שבסעיפים ב-ה התאימו את הפתרון הנכון והקיפו אותו. א.. (22 · 3)5 = (22)5 · 35 = 22 · 5 · 35 = 210 · 35 ד.. (23 · 42)2 = 26 · 44 25 · 44 23 · 44 ה.. (54 · 37)4 = 54 · 328 516 · 328 58 · 311 58 5 8 פשטו את הביטויים הבאים. .ה (3a ) 3 (a ) 27a 2 3 3 2 3 6 = = .א (4x) 4 x 16x 2 2 2 2 = = .ו (2a )4 6 = .ב (3a)4 = .ז (–3c )3 4 = .ג (b )5 6 .ח 4y 3y 2 6 ⋅ .ד (–5a)2 = 59 5 9 .25x4 בחרו את הביטויים השווים לביטוי 52 · x3 · x )4( 5x2 · 5x2 )3( 5x2 · x2 )2( (5x2)2 )1( 60 6 0 איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים שונה מן השאר? (3 · 5)2 · 52 )4( (3 · 5)4 )3( 32 · (52)2 )2( (52 · 3)2 )1( ב.. (3 · 52)4 = 3 · 58 34 · 56 34 · 58 ג.. (42 · 7)6 = 48 · 76 42 · 76 412·76
-33כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ט' - סדרת מעוף - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 61 6 1 .a נתונה קובייה שאורך צלעה , וקיבלו קובייה חדשה.5 הגדילו כל אחת מצלעות הקובייה פי אילו ביטויים מבטאים את שטח הפנים של הקובייה החדשה? (תזכורת: שטח הפנים של קובייה שווה לסכום שטחי כל פאותיה.) 150a2 )4( 30a2 )3( 6 · (5a)2 )2( 6 · 5a2 )1( 62 6 2 ס"מ. הקטינו כל אחת15 נתונה קובייה שאורך צלעה . Ⅰ , וקיבלו קובייה חדשה.3 מצלעות הקובייה פי . א מהו נפח הקובייה החדשה בסמ"ק? . ב ס"מ. הקטינו a נתונה קובייה שאורך צלעה .)b > 1( b כל אחת מצלעות הקובייה פי איזה ביטוי מבין הביטויים הבאים מייצג את נפח הקובייה (בסמ"ק)? הסבירו. b a 3 ( ) )4( a b 3 ( ) )3( a b 3 )2( a b3 )1( . 6 2 3 ( ) א. נתון הביטוי .II לאילו ביטויים מבין הביטויים הבאים שווה הביטוי הנתון? הסבירו. 6 6 6 2 2 2 · · · · )3( 6 2 3 )2( 6 2 6 2 6 2 · · )1( . ב בכתיב של מנת חזקות ללא שימוש בסוגריים ומבלי 3 4 7 ( ) ענת התבקשה להציג את הביטוי לחשב. . 3 4 3 4 7 7 7 ( ) = ענת רשמה כך: היעזרו בסעיפים הקודמים, והסבירו את הפתרון של ענת. a ס"מ 15 ס"מ 15 ס"מ 15
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=