אשכול מדעים וחברה יח״ל 3 רמת 4576 מספר אישור: 11.6.23 אושר בתאריך:
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול מדעים וחברה 4576 מספר אישור: 11.6.23 תאריך:
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה 3 הספר "מתמטיקה לכיתה י' – חלק א' – אשכול מדעים וחברה" מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת יח"ל. ספר זה הוא הראשון מתוך שלושה ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחומי המדעים והחברה. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1. ................................................................................................ אשכול מדעים וחברה –פתיח 2. .......................................................................... יחידה ראשונה – הסקת מסקנות ממידע קריאת מידע מייצוג ויזואלי ובניית הייצוג הוויזואלי . א 3 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ סוגי משתנים . ב 6 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� גרפים רציפים . ג 15 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� גרפים לא שגרתיים . ד 18 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� דיאגרמת עמודות . ה 26 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� דיאגרמת עיגול . ו 33 ������������������������������������������������������������������������������������������������������� בניית ייצוגים ויזואליים קריאת מידע משני ייצוגים ויזואליים או יותר . א 39 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� שני גרפים או יותר . ב 45 �������������������������������������������������������������������������������������������� שתי דיאגרמות עמודות או יותר . ג 49 ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� שתי דיאגרמות עיגול . ד 53 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� תרגול משולב 61...................................................................................... ייצוג אלגברי של נתונים – שינוי נושא הנוסחה 65........................................................................................................................................... תשובות 73....................................... יחידה שנייה – ייצוגים סטטיסטיים שונים ומעבר ביניהם קריאת מידע מנתונים המוצגים באופן מספרי . א 74 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ טבלת שכיחויות . ב 79 ��������������������������������������������������������������������������������������������� נתונים המוצגים בצורת רשימה . ג 82 ������������������������������������������������������������������������������������������������������� טבלת שכיחויות יחסיות מעבר בין ייצוג הנתונים בטבלה לייצוגים ויזואליים ולהפך . א 89 ������������������������������������������������������������������ מעבר מדיאגרמת עמודות לטבלת שכיחויות ולהפך . ב 93 ���������������������������������������������������������� מעבר מדיאגרמת עיגול לטבלת שכיחויות יחסיות ולהפך . ג 97 ��������������������������������������������������������������������������� מעבר מגרף נקודות לטבלת שכיחויות ולהפך . ד 101��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� תרגול משולב 105......................................................................................................................................... תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 112................................................................ יחידה שלישית – סטטיסטיקה –מדדי מרכז מדדי מרכז (ממוצע, חציון ושכיח) . א 113������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ממוצע . ב 120�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� חציון . ג 128�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� שכיח . ד 133���������������������������������������������������������������������������������������������������������� תרגול משולב ומסכם מדדי המרכז – שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר) . א 137����������������������������������������������������������������������������������������������������������� תכונות מדדי המרכז . ב 141������������������������������������������������������������������������������������ ) שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר תוספת של משתנה (אחד או יותר) או איחוד קבוצות (שתיים או יותר) . א 149���������������������������������������������������������������������������������������� ) תוספת של משתנה (אחד או יותר . ב 154������������������������������������������������������� איחוד של שתי קבוצות או יותר ושימוש בממוצע משוקלל 162................................................................... שימוש במדדי המרכז לצורך השוואה בין קבוצות משתנים 169......................................................................................................................................... תשובות 177.................................................................................................. יחידה רביעית – הסתברות הסתברות של מאורעות חד - שלביים . א 178��������������������������������������������������������������������������������������������������������� הסתברות לפי לפלאס . ב 191�������������������������������������������������������������������������������������������������� הסתברות באמצעות טבלה . ג 197��������������������������������������������������������������������������������������������� הסתברות – תרגילים מיוחדים 201.................................................................................................. הסתברות של מאורעות דו - שלביים 214......................................................................................................................................... תשובות 220................................................................... יחידה חמישית – סטטיסטיקה והסתברות 233......................................................................................................................................... תשובות נספחים 236........................................................ נספח א׳ - משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה עם נעלם אחד 241............................................................................................................................ נספח ב׳ - אחוזים 245.................................................................................................... נספח ג׳ - מערכת צירים ופונקציות 253......................................................................................................................................... תשובות
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול מדעים וחברה - פתיח • אשכול זה מהווה אשכול כניסה לתכנית של החטיבה העליונה. בהתאם לכך הדגש המושם בו הוא שימור של הידע הרלוונטי מחטיבת הביניים. באשכול זה נלמדים התכנים המתמטיים בהקשרים של תופעות מתחומי החברה והמדעים. • תכנים מתמטיים באשכול (כולל מושגים מתמטיים) ✔ קריאת מידע המיוצג בייצוג ויזואלי (גרף, דיאגרמת עמודות, עיגול) או באמצעות טבלת שכיחויות או באופן מילולי. ✔ סטטיסטיקה. ✔ הסתברות. • תכנים אוריינים באשכול ✔ קריאה, עיבוד ופירוש מידע, שמתאר מצב מציאותי בתחומים שונים של מדעי הטבע והחברה (כמו גיאוגרפיה, רפואה, בחירות, תזונה, הערכת הישגים וכו') בעזרת כלים מתמטיים. ✔ קבלת החלטות מושכלת. • יחידות 5 אשכול מדעים וחברה מכיל ✔ יחידה ראשונה: הסקת מסקנות ממידע (המיוצג בייצוגים שונים) הקשור לנושאים ממדעים וחברה. ✔ יחידה שנייה: ייצוגים סטטיסטיים שונים לתופעות מדעיות וחברתיות ומעבר ביניהם. ✔ יחידה שלישית: שימוש בכלים סטטיסטיים (מדדי מרכז) לעיבוד מידע בהקשר לתופעות מדעיות וחברתיות, המוצגות באופן מספרי או באופן ויזואלי. ✔ יחידה רביעית: חישוב סיכויים / הסתברויות להתרחשות של תופעות חברתיות לא ודאיות. ✔ יחידה חמישית: אינטגרציה של עיבוד סטטיסטי וחישוב סיכויים בהקשר לתופעות חברתיות ומדעיות. • בסוף הספר מופיעים נספחים בנושאים, שנלמדו בחטיבת הביניים ונדרשים ללימוד באשכול זה.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה הסקת מסקנות ממידע ביחידה זו נעסוק בקריאה ועיבוד של מידע המוצג בייצוגים שונים של מידע: מילולי, אלגברי, ויזואלי. נחזור ונעמיק בייצוגים הוויזואליים השונים של מידע, שנלמדו בחטיבת הביניים, והם: דיאגרמת עמודות, דיאגרמת עיגול וגרף. נכיר סוגים של משתנים (כמותי, איכותי, בדיד ורציף), ונעסוק בהבדל בין הייצוגים הוויזואליים השונים. משימת פתיחה לפניכם סרטוט, המתאר את המכירות של תנורי אפייה בעיר מסוימת. . א האם במהלך השנים היתה מגמת עלייה בכמות תנורי האפייה שנמכרו? אם כן, כיצד בא הדבר לידי ביטוי? . ב איזה סרטוט מתאים, לדעתכם, למכירת תנורי אפייה בשנים שתוארו בסרטוט המקורי? Ⅰ 2000 2001 2002 27% 40% 33% Ⅱ 2000 2001 2002 33% 34% 33% . ג לסרטוט המקורי הוסיפו מידע גם לגבי כמות המקררים שנמכרה באותן השנים. האם גם כאן קיימת מגמת עלייה בכמות המקררים שנמכרו? אם כן, כיצד בא הדבר לידי ביטוי? . ד באיזו שנה ישתוו המכירות של המקררים ותנורי האפייה, אם מגמת שנים לאחר מכן? 5 המכירות נמשכה במשך . ה ?2000 לעומת 2002 בכמה אחוזים גדלו המכירות של המקררים בשנת .65 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳ 2002 2001 2000 מספר המוצרים 10 60 50 30 40 40 50 60 20 השנה 70 2002 2001 2000 מספר המוצרים מקררים תנורי אפייה 10 60 50 30 40 15 40 30 50 45 60 20 70 השנה
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © קריאת מידע מייצוג ויזואלי ובניית הייצוג הוויזואלי בפרק זה נעסוק בהצגת תופעות או מצבים מחיי היום יום בהקשר מדעי וחברתי בעזרת גרפים (רציפים ולאשגרתיים), דיאגרמת עמודות ודיאגרמת עיגול. נתמקד בקריאה ואחזור של מידע. מה נלמד? ✔ סוגי משתנים. ✔ גרפים רציפים. ✔ גרפים לא שגרתיים. ✔ דיאגרמת עמודות. ✔ דיאגרמת עיגול. ✔ בניית ייצוגים ויזואליים. .69-65 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א סוגי משתנים בסעיף זה נלמד על המשתנה וסוגיו. הסבר ודוגמאות בשנים קודמות עסקנו בקריאת מידע מגרפים, מדיאגרמת עמודות (מקלות) ומדיאגרמת עיגול. .y ומשתנה על ציר ה- x משתנים: משתנה על ציר ה- 2 ; וב- y וציר ה- x צירים: ציר ה- 2 בגרפים עסקנו בבדיאגרמת עמודות ובדיאגרמת עיגול נעסוק במשתנים (נתונים) נוספים שנציינם כעת. דוגמה נבחר קבוצת תלמידים ונרשום לגבי כל אחד מהם את צבע העיניים שלו, את ציונו במבחן האחרון במתמטיקה ואת הגובה שלו. המשתנים הנבדקים הם: צבע העיניים: ירוק, כחול, חום, שחור. .10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 הציון במבחן האחרון במתמטיקה: .189.99-180 , 179.99-170 , 169.99-160 הגובה (בס"מ): לכל אחד מהמשתנים הללו יש אפיון שונה. אנו נעסוק בסוגים השונים של המשתנים ונגדיר אותם.
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הגדרות • משתנה – תכונה של פרט או מצב, שיכולה לקבל שני ערכים ויותר. דוגמאות גיל, צבע עיניים, מספר שנות לימוד, סוג דם, טמפרטורה ועוד. .ערכים שמייםאו ערכים מספריים הערכים שמשתנה יכול לקבל הם • משתנה איכותי (שמי) - משתנה שמקבל ערכים שאינם מספריים (ערכים שהם שמות), שלא ניתן למדוד אותו. דוגמאות מצב משפחתי (רווק, נשוי, גרוש...), מקום מגורים, מקצוע, צבע מכונית וכו׳. • משתנה כמותי – משתנה שמקבל ערכים מספריים, שניתן למדוד אותו ולבצע עליו פעולות חשבוניות. דוגמאות גובה, ציון במבחן, מספר נפשות במשפחה, מנת משכל, מספר קלוריות במוצר ועוד. יש שני סוגים של משתנה כמותי: . א משתנה בדיד - משתנה שערכיו מתקבלים מתוך סדרה של ערכים אפשריים, בדרך כלל עם "קפיצות" קבועות, ואין משמעות לערכי ביניים. דוגמאות .)100 עד 0 ציון במבחן (ערכים שלמים מ- ילדים במשפחה שנבדקה. 2.5 ) ואין משמעות לערך של 0,1,2,3,… מספר הילדים במשפחה ( כמידת נעליים שנבדקה. 7.38 ואין משמעות לערך (7, 7.5, 8, 8.5,…) מידת נעליים אמריקאית חדרים בבית שנבדק. 1.82 ואין משמעות לערך של (1, 1.5, 2, 2.5,…) מספר החדרים בבית . ב משתנה רציף - משתנה שערכיו מתקבלים מתוך אינסוף ערכים בתחום מסוים (כולל ערכי ביניים). דוגמאות ק"ג - תלוי בדיוק של המדידה. 40.32 ק"ג או 40.3 ק"ג , 40 משקל - יכול להיות ס"מ. 187.2 ס"מ, הוא יכול להיות כל ערך בתחום זה, למשל 200 ס"מ ל- 180 גובה – אם הוא בין נחזור לדוגמה הקודמת נבחר קבוצת תלמידים ונרשום לגבי כל אחד מהם את צבע העיניים שלו, את ציונו במבחן האחרון במתמטיקה ואת הגובה שלו. הנבדקים הם: המשתנים ✔ , שמקבל ערכים שמיים ולא ניתן למדוד אותו.איכותיצבע העיניים – משתנה ✔ , מקבל ערכים מספריים בודדיםכמותי בדידהציון במבחן האחרון במתמטיקה – משתנה וניתן למדוד אותו. ✔ , שמקבל ערכים מספריים, כולל ערכי ביניים, וניתן למדוד אותו.כמותי רציףהגובה – משתנה משתנה איכותי כמותי בדיד רציף
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 1 לפניכם תיאור של משתנים. קבעו אילו משתנים הם איכותיים, ואילו משתנים הם כמותיים. . א מספר דוחות החנייה שקיבלו נהגים בתחנת מוניות במהלך חודש. . ב מספר הגפרורים הפגומים בקופסה. . ג שמות המנות במסעדה מסוימת. . ד מגמות הלימוד בבית ספר תיכון. . ה מספר הטלפונים הניידים במשפחה. ו . השכר החודשי של עובדים במפעל. . ז צבעי המכוניות בחניון של בניין. . ח שמות החוגים השונים של תלמידי שכבה י'. . ט מספר האיחורים של תלמידי כיתה בשליש הראשון של השנה. י . הציונים של תלמידים בכיתה במקצוע מסוים. . 2 דוגמאות למשתנים כמותיים. 2 א. תנו . ב דוגמאות למשתנים איכותיים. 2 תנו . 3 לפניכם משתנים כמותיים. קבעו אילו משתנים הם בדידים, ואילו משתנים הם רציפים. . א שנת העלייה לארץ של כל עולה מתוך קבוצה של עולים ותיקים. . ב כמות המשקעים השנתית ביישוב מסוים במשך מספר שנים. . ג הגובה של התלמידים בשכבה י'. . ד מספר המכוניות שיש למשפחה ביישוב. . ה מספר המחשבים הניידים שיש למשפחה בשכונה. ו . השנים האחרונות. 10 עוצמת רעידת האדמה (בסולם ריכטר) במדינה מסוימת ב- . ז מהירות הנסיעה של מכוניות, שנקלטה על-ידי מצלמת מהירות ביום מסוים. . ח במספר נוזלים שנבדקו. (pH) רמת החומציות . ט מספר חיות המחמד במשפחה ביישוב. י . מספר המילים בהודעות שנשלחו במהלך חודש. . 4 דוגמאות למשתנים כמותיים בדידים. 2 א. תנו . ב דוגמאות למשתנים כמותיים רציפים. 2 תנו
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .ב גרפים רציפים הצגה גרפית היא הצגה של נתונים, שנאספו באוכלוסיה והוצגו במערכת צירים. הצגה זו מאפשרת התרשמות חזותית נוחה של התופעה הנחקרת. בסעיף זה נחזור על קריאה, זיהוי ואחזור של מידע מגרף נתון. דוגמה פתורה במערכת צירים מוצג גרף, המתאר את שינוי טמפרטורת האוויר במקום מסוים החל בשעה .1400 בבוקר ועד השעה 800 משמש לסימון הטמפרטורה. y משמש לסימון השעות, וציר ה - x ציר ה - בגרף מוצג הקשר בין שני המשתנים: השעה והטמפרטורה. למדנו כי: :שיעורי הנקודה), שנקראים x,y כל נקודה במערכת צירים מתוארת על-ידי זוג המספרים ( הוא המספר על הציר המאונך. y הוא המספר על הציר המאוזן, x פעמים (בשעות עגולות). כל מדידה סומנה כנקודה על הגרף. 7 לפי הגרף, נמדדה הטמפרטורה שמייצג את הטמפרטורה. y שמייצג את השעה, ושיעור x לכל נקודה על הגרף יש שיעור .2° נמדדה טמפרטורה של 1000 בשעה :A(10,2) למשל, נקודה הוא משתנה רציף, ולכן חיבור הנקודות נותן מידע נוסף, שניתן להסיק מהגרף גם לגביטמפרטורההמשתנה נקודות נוספות בין אלו שמודגשות בגרף. x y 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 10° 8° 6° 4° 2° -2° -4° טמפרטורת האוויר (במעלות צלזיוס) A השעה (בשעות) y y x x )x,y(
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © שאלות שניתן לענות עליהן מתוך המידע המוצג בגרף: . א ?1200 איזו טמפרטורה נמדדה בשעה 1200 כדי לענות על השאלה הזו נסרטט אנך מהערך עד לנקודת המפגש שלו עם הגרף, x שעל ציר ה- . אנך זה y ומהנקודה על הגרף נסרטט אנך לציר ה- (מופיע בצבע אדום). 6° מגיע לערך .6° הטמפרטורה היתה 1200 תשובה: בשעה . ב ?3° באיזו שעה נמדדה טמפרטורה של , ציר הטמפרטורה, מופיעות רק y על ציר הטמפרטורות זוגיות. הטמפרטורות האי-זוגיות נמצאות למעשה באמצע המשבצות. כדי למצוא , נסרטט 3° באיזו שעה נמדדה טמפרטורה של , עד לנקודת y אנך לציר ה- 4°- ל 2° מאמצע המשבצת שבין המפגש שלו עם הגרף, ומהנקודה על הגרף נסרטט אנך לציר (מופיע בצבע כחול). 1100 . אנך זה מגיע לערך x ה- .1100 היתה בשעה 3° תשובה: הטמפרטורה . ג האם הגרף עולה/יורד/קבוע? . ככל שהשעה מאוחרת יותר, עולההגרף הטמפרטורה גבוהה יותר. קל לזהות עלייה וירידה, אם מדמיינים "טיול" על הגרף, שמתחיל תמיד משמאל לימין. . ד בין אילו שעות נמדדה טמפרטורה שלילית? ובין אילו שעות נמדדה טמפרטורה חיובית? x נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- ,0° מציינת את השעה שבה הטמפרטורה היא 830 . לפני השעה 830 במקרה זה השעה היא בערך , כלומר שלילית 0° הטמפרטורה היתה מתחת ל- (חלק הגרף שבתכלת). אחרי שעה זו הטמפטורה , כלומר חיובית (חלק הגרף שבירוק). 0° היתה מעל (בערך) 830 ל- 800 תשובה: בין השעות ,)0° (מתחת ל-שליליתהטמפרטורה היא 1400 (בערך) ועד השעה 830 ובין השעות .)0° (מעל ל-חיוביתהטמפרטורה היא y 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 10° 8° 6° 4° 2° -2° -4° טמפרטורת האוויר (במעלות צלזיוס) השעה (בשעות) x y 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 10° 8° 6° 4° 2° -2° -4° טמפרטורת האוויר (במעלות צלזיוס) השעה (בשעות) x y 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 10° 8° 6° 4° 2° -2° -4° טמפרטורת האוויר (במעלות צלזיוס) x השעה (בשעות)
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ה מהי הטמפרטורה המינימלית שנמדדה? ומהי הטמפרטורה המקסימלית שנמדדה? (הנמוכה ביותר) מופיעה בנקודה הנמוכה ביותר בגרף, המינימליתהטמפרטורה .–3° ולפי הסרטוט היא היתה (הגבוהה ביותר) מופיעה בנקודה הגבוהה ביותר בגרף, המקסימליתהטמפרטורה .9° ולפי הסרטוט היא היתה ו . מהו ההפרש בין שתי טמפרטורות הקיצון שנמדדו? נקודות המינימום והמקסימום נקראות גם ״נקודות קיצון״. ,9° – (–3°) = 12° ההפרש בין שתי טמפרטורות הקיצון (המינימום והמקסימום מהסעיף הקודם) הוא: .12° כלומר מתחילת המדידות ועד סופן עלתה הטמפרטורה ב- . ז ?1400 עד לשעה 1200 בכמה אחוזים עלתה הטמפרטורה משעה עליית הטמפרטורה:אחוז. נחשב את 9° ל- 6° עלתה הטמפרטורה מ- 1400 עד לשעה 1200 משעה 100% ↔ 6° :1200 הטמפטורה בשעה x% ↔ 9° :1400 הטמפטורה בשעה 100 6 x 9 = ⇒ x= = ⋅9 100 6 150% .6° ) מ- 150% − 100% = 50%( 50%- גבוהה ב 9° תשובה: הטמפרטורה . ח ?1400 ל- 800 מהו קצב השינוי הממוצע בין השעות . הפרש הטמפרטורות ניתן לחישוב באופן הבא: הפרש הזמנים 1400 ל- 800 בין השעות קצב השינוי הממוצע . 12 6 2= ). לכן: 1400-800 שעות ( 6 במשך (9° – (–3°) = 12°) 12° בסך הכול עלתה הטמפרטורה ב- לשעה. 2° תשובה: קצב השינוי הממוצע הוא שימו לב! אם הטמפרטורה היתה יורדת, היה קצב השינוי מספר שלילי. ככל שהגרף תלול יותר, כך קצב השינוי הממוצע (בערכו המוחלט) גדול יותר. . הפרש המרחקים בתחום בעזרת החישוב: הפרש הזמניםמהירות ממוצעתבאופן דומה ניתן לחשב בשאלות תנועה זכרו! אם נתון גרף המתאר תנועה, ניתן להיעזר בקשר שבין הזמן, המהירות והדרך, כמתואר בסרטוט הבא: דרך זמן x מהירות דרך = זמן ∙ מהירות דרך מהירות זמן = דרך זמן מהירות = סיכום גרף רציף הוא ייצוג ויזואלי במערכת צירים, המציג קשר בין שני משתנים. משתנה אחד מוצג על הציר האופקי ). הגרף מתואר על ידי עקֹום (כמו בדוגמה), קו ישר יחיד, y ), והמשתנה השני מוצג על הציר האנכי (ציר ה- x (ציר הקו שבור או שילוב שלהם. הגרף מתאר מידע לגבי משתנה רציף, וקל לראות בו מגמה של נתונים לאורך זמן, כגון: עלייה וירידה, נקודות קיצון (מינימום ומקסימום), חיוביות ושליליות וכו׳.
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 5 .600 מונית יצאה ממושב לקיבוץ בשעה הגרף שלפניכם מתאר את המרחק של המונית מהמושב לפי הזמן. . א באיזו שעה יצאה המונית מהמושב? . ב באיזו שעה הגיעה המונית לקיבוץ? . ג מה היה מרחק המונית מהמושב בשעה: ?930 (2) ?800 (1 ) ?1130 (4) ?1300 (3) . ד באיזו שעה היה מרחק המונית מהמושב: ק"מ? 640 (2) ק"מ? 240 (1 ) ק"מ? 520 (4) ק"מ? 360 (3) . ה כמה ק"מ בסך הכול עברה המונית בין השעות: ?1330-930 (4) ?1400-1030 (3) ?1100-800 (2) ?900-700 (1) . 6 דוד יצא ברגל מביתו. בדרך עצר כדי לנוח, ולאחר מכן המשיך ללכת עד שהגיע לחברו יאיר. הגרף שלפניכם מתאר את המרחק של דוד מביתו לפי הזמן. . א באיזו שעה יצא דוד מביתו? . ב באיזו שעה הגיע דוד לחברו יאיר? . ג באיזו שעה עצר דוד למנוחה? כמה זמן נמשכה המנוחה? . ד באיזה מרחק מביתו נמצא דוד בשעה: ?1630 (4) ?1400 (3) ?1230 (2) ?1100 (1) . ה באיזו שעה היה המרחק של דוד מביתו: ק"מ? 18 (4) ק"מ? 2 (3) ק"מ? 12 (2) ק"מ? 6 (1) ו . ?1730-1530 כמה ק"מ עבר דוד בסך הכול בין השעות . ז ?1730-1530 מה היתה מהירותו של דוד בין השעות 1200 1300 1400 1100 1000 900 800 700 המרחק מהמושב (בק״מ) השעה 80 480 400 240 320 160 560 640 600 השעה המרחק בק"מ 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 4 8 12 16 20
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 7 רכבת יצאה מעיר א׳ לעיר ב׳ ומיד חזרה לעיר א׳. הגרף שלפניכם מתאר את המרחק של הרכבת מעיר א׳ מרגע יציאתה ועד רגע חזרתה. . א מהם שני המשתנים, שהקשר ביניהם מתואר בגרף? . ב באיזו שעה הגיעה הרכבת לעיר ב׳? . ג מה המרחק בין שתי הערים? . ד ?1230 ? בשעה 800 מה היה מרחקה של הרכבת מעיר א׳ בשעה . ה ק״מ מעיר א׳? 120 מתי היתה הרכבת במרחק ו . ?מעיר ב׳ ק״מ 120 מתי היתה הרכבת במרחק . ז כמה זמן נסעה הרכבת לעיר ב׳? . ח כמה זמן נסעה הרכבת בחזרה לעיר א׳? . ט באיזו מהירות נסעה הרכבת בדרכה לעיר ב׳? י . באיזו מהירות נסעה הרכבת בדרכה חזרה לעיר א׳? . 8 קבוצת תלמידים יצאה למסע מיישוב מסוים. הגרף שלפניכם מתאר את המרחק של התלמידים מהיישוב מרגע יציאתם ועד רגע חזרתם בכל זמן נתון. . א באיזו שעה יצאו התלמידים למסע? באיזו שעה חזרו התלמידים ליישוב? . ב כמה זמן בסך-הכול ארך המסע? . ג האם נחו התלמידים במהלך המסע? אם כן, כמה זמן נחו? . ד ?930 באיזה מרחק מהיישוב היו התלמידים בשעה . ה ק"מ מהיישוב? 8 מתי היו התלמידים במרחק ו . ק"מ מנקודת המנוחה? 4 מתי היו התלמידים במרחק . ז כמה ק״מ הלכו התלמידים במסע כולו? . ח מתי הלכו התלמידים מהר יותר: בדרך הלוך או בחזור? נמקו. . ט ?1200 ל- 1000 באיזו מהירות הלכו התלמידים בין השעות השעה המרחק בק"מ 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 60 120 180 240 300 360 420 480 השעה המרחק מהיישוב (בק"מ) 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 4 8 12 16 20
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 9 מאפה הוצא מהמקפיא והוכנס לתנור אפייה כדי לחממו. לפניכם גרף המתאר את חום המאפה מרגע הכנסתו לתנור ועד לשלב שבו הוא נאכל. . א מה היתה טמפרטורת המאפה דקות של חימום? 2 לאחר . ב לאחר כמה דקות הגיעה לראשונה ?100° טמפרטורת המאפה ל- . ג במשך כמה דקות שמר המאפה ?100° על טמפרטורה של . ד בשלב מסוים הועלתה .120° טמפרטורת התנור ל- ?120° כמה דקות חלפו מהכנסת המאפה לתנור ועד שהטמפרטורה שלו הגיעה ל- . ה באיזו טמפרטורה (בערך) היה המאפה בשעה שנאכל? ו . בין אילו דקות הגרף עולה/יורד/קבוע? . ז מה ההפרש בין הטמפרטורה המקסימלית לטמפרטורה המינימלית של המאפה? . 10 לפניכם גרף, המתאר את כמות המים שבמכל לפי הזמן שחלף מתחילת זרימת המים. . א 10 מהי כמות המים במכל דקות מתחילת זרימת המים? . ב באילו זמנים היו במכל ליטרים ? 425 בדיוק . ג מה היתה הכמות המקסימלית של המים במכל? . ד בין אילו דקות ירדה כמות המים במכל? . ה האם היה המכל ריק לפני הזרמת המים? ו . לפי הגרף, האם המכל התרוקן? . ז בין אילו דקות לא היה שינוי בכמות המים במכל? . ח בין אילו דקות התמלא המכל בקצב הגבוה ביותר? מהו? . ט ?26 לעומת כמות המים בדקה ה- 28 בכמה אחוזים קטנה כמות המים בדקה הי . האם ניתן לדעת מהגרף מהו נפח המכל? נמקו. (1) ( 2) הציעו שאלה, שאת התשובה עבורה לא ניתן לקרוא מהגרף. הזמן בדקות הטמפטורה במעלות צלזיוס 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40 20 60 80 100 120 140 הזמן בדקות כמות המים בליטרים 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 11 2018-2012 לפניכם גרף, המציג מספר מוקדי שידור סלולריים בארץ בין השנים (מתוך אתר מרכז המחקר והמידע של הכנסת). . א מהם שני המשתנים, שהקשר ביניהם מתואר בגרף? . ב ?2016 כמה מוקדי שידור סלולריים היו בארץ בשנת . ג ?8000 באילו שנים (שלמות) היה מספר מוקדי השידור נמוך מ- . ד באיזו שנה היה מספר מקסימלי של מוקדי שידור סלולריים בארץ? ומהו המספר המקסימלי? . ה בין אילו שנים היתה ירידה במספר מוקדי השידור הסלולריים? ו . ?2014 ל- 2012 מה היה קצב השינוי הממוצע בין השנים . ז הוא 2013 ל- 2012 אחוז הגידול של מספר מוקדי השידור הסלולריים בין השנים (רשמו את התשובה הנכונה): 654% (4) 554% (3) 8.24% (2) 108.24% (1 ) . 12 הגרף שלפניכם מתאר את נפח המים, הנקלט 24 על ידי צמח מסוים במהלך יממה ( שעות). . א מהם שני המשתנים, שהקשר ביניהם מתואר בגרף? . ב מהו נפח המים שנקלט בשעה: ?400 (2) ?1200 (1) . ג האם נפח המים, הנקלט על ידי הצמח , גבוה מנפח המים, הנקלט 1600 בשעה ?200 בשעה . ד באיזו שעה (בערך) נפח המים הנקלט בצמח הוא: מ"ל / שעה? 11 (2) מ"ל / שעה? 21 (1) . ה נפח המים הנקלט בשעה (בחרו את התשובה הנכונה): 1500 ל- 1000 בין השעות עלה / ירד / לא השתנה. ו . באיזו שעה נפח המים הנקלט בצמח היה מקסימלי? ומה היה נפח זה? . ז ?700 ל- 400 מהו קצב השינוי הממוצע בין השעות 7500 7000 2012 2018 2015 2013 2016 2014 2017 8000 8500 9000 10000 9500 השנה מספר המוקדים 7939 7930 7852 8593 9723 9250 8696 1 9 2 3 5 7 10 14 18 22 12 16 20 24 11 15 19 23 13 17 21 4 6 8 נפח המים (מ״ל/שעה) שעות היממה 4 2 0 22 20 18 12 10 16 14 8 6
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 13 לפניכם גרף, המתאר את המהירות של המכונית לפי הזמן. . א ?1430 באיזו מהירות נסעה המכונית בשעה . ב באיזה פרק זמן המכונית עמדה? . ג מה היתה המהירות המקסימלית של המכונית? . ד מה היתה המהירות המינימלית של המכונית? . ה בין אילו שעות היתה מהירות המכונית במגמת עלייה? ו . קמ"ש? 10 מתי נסעה המכונית במהירות של . ז בין אילו שעות נסעה המכונית במהירות קבועה? . ח בין אילו שעות מדדו את מהירות המכונית? . ט בכמה אחוזים קטנה מהירות המכונית ?1730 לשעה 1630 משעה . 14 הגרף שלפניכם מתאר את השינוי בטמפרטורה לפי הזמן. . א באיזו שעה נמדדה הטמפרטורה הגבוהה ביותר? ובאיזו שעה נמדדה הטמפרטורה הנמוכה ביותר? . ב מה הפער במעלות (ההפרש) בין הטמפרטורה הגבוהה ביותר לטמפרטורה הנמוכה ביותר? . ג מהו קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה בין השעות ?1200 ל- 1000 . ד בין אילו שעות היה קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה גדול יותר: ? נמקו. 2000 ל- 1700 או בין השעות 1000 ל- 800 בין השעות . ה בין אילו שעות היתה הטמפרטורה במגמת ירידה? ו . ?0° באילו שעות היתה הטמפרטורה שווה ל- . ז בין אילו שעות נמדדה טמפרטורה שלילית? ובין אילו שעות נמדדה טמפרטורה חיובית? . ח ?1000 לעומת הטמפטורה בשעה 1100 בכמה אחוזים קטנה הטמפטורה בשעה השעה המהירות בקמ"ש 1200 1000 1100 1300 1400 1500 1600 1700 1800 10 20 30 40 50 60 70 80 השעה הטמפטורה במעלות 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 0 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 2 3 4 5 6 7 8 9 10
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 15 הגרף שלפניכם מתאר את הטמפרטורות, שנמדדו בארץ אירופית מסוימת באחד מימי החורף. בבוקר שלמחרת. 1000 בבוקר ועד 1000 שעות החל ב- 24 המדידות נערכו במשך השעה הטמפטורה במעלות צלזיוס 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 200 400 600 800 1000 0 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 12 14 1000 עיינו בגרף וענו על הסעיפים הבאים. . א ?2300 ? בשעה 1600 איזו טמפרטורה נמדדה בשעה . ב - מעלות צלזיוס? 3 מעלות צלזיוס? טמפרטורה של 5 באילו שעות נמדדה טמפרטורה של . ג בין אילו שעות היתה הטמפרטורה במגמת ירידה? . ד מעלות צלזיוס? 0 באילו שעות היתה הטמפרטורה שווה ל- . ה מעלות צלזיוס? 0 בין אילו שעות היתה הטמפרטורה מתחת לו . באיזו שעה נמדדה הטמפרטורה הגבוהה ביותר? ובאיזו שעה נמדדה הטמפרטורה הנמוכה ביותר? . ז מהו הפער במעלות בין הטמפרטורה הגבוהה ביותר לטמפרטורה הנמוכה ביותר? . ח ?1900 ועד השעה 1500 מהו קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה מהשעה . ט בין אילו שעות היה קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה הגדול ביותר: בבוקר שלמחרת? נמקו את תשובתכם. 1000 ל- 600 או בין השעה 1500 ל- 1000 בין השעה
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י׳- אשכול מדעים וחברה - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .ג גרפים לא שגרתיים עד כה הצגנו גרפים רציפים. בסעיף זה נתמקד בקריאה ואחזור מידע מגרפים לא שגרתיים. הסבר ודוגמה פתורה בסעיף זה נתמקד בשלושה סוגים של גרפים לא שגרתיים: גרף נקודות )Stairs function( גרף מדרגות )Sawtooth function( גרף שיני מסור דוגמה .2020 לפניכם גרף, המתאר את אורך השיער של מעיין במהלך שנת ידוע כי מעיין לא הסתפרה בתחילת השנה הזאת ולא בסופה. . א כמה פעמים הסתפרה מעיין במשך השנה? . ב מהו משך הזמן הארוך ביותר בשנה זו, שבו מעיין לא הסתפרה? . ג מהו אורך השיער המקסימלי של מעיין? . ד ס"מ? 7 באילו חודשים היה למעיין שיער באורך . ה לא הסתפרה מעיין במשך חמשת החודשים הראשונים. קצב גידול שערה נשאר כפי שהיה בשנת 2021 בשנת . בכמה ס״מ התארך שערה במהלך חמשת החודשים? הסבירו. 2020 פתרון: . א ניתן לראות את התספורות בגרף, כאשר בחודש מסוים אורך השיער של מעיין התקצר בבת אחת (מסומן ס"מ. 6 ס"מ וקוצר ל- 10 שערה של מעיין היה באורך 5 בקווים המקווקוים האדומים). למשל: בחודש .)8 ו- 7 בגרף המוצג כאן קורה הדבר שלוש פעמים (גם בחודשים פעמים במשך השנה. 3 תשובה: מעיין הסתפרה . ב בין הקווים האנכיים שהוספו לגרף. x ניתן לראות את הזמן בין תספורת לתספורת בעזרת המרחקים על ציר ה- חודשים, השנייה כעבור חודשיים, והשלישית כעבור חודש נוסף. 5 התספורת הראשונה היתה אחרי חודשים. 5 תשובה: משך הזמן הארוך ביותר בשנה זו, שבו מעיין לא הסתפרה, הוא . ג .)5 ס"מ (בחודש ה- 10 למציאת האורך המקסימלי נחפש את הנקודה הגבוהה ביותר בגרף, והיא 1 2 4 6 8 10 23456789101112 אורך השיער (בס״מ) הזמן שחלף (בחודשים)
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=