-370כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © (( ( 2 לא ניתן להצגה כמנה של שני מספרים שלמים. 2 נוכיח כי אכן יש דרכים רבות להוכחה, וכאן נציג דרך אחת. נוכיח בדרך השלילה. = 2 a b שמקיימים: ,bו- a נניח שקיימים שני מספרים זרים, הוא שבר מצומצם). a b (כלומר: משוויון זה ניתן להסיק כי: ,a2 , ולכן גם אגף ימין של השוויון,2 התוצאה של אגף שמאל של השוויון היא מספר זוגי בגלל הגורם הוא מספר זוגי. מספר זוגי (כי מספר זוגי המוכפל בעצמו הוא מספר זוגי, ומספר אי-זוגי a מספר זוגי, אזי גם a2 אם המוכפל בעצמו הוא מספר אי-זוגי). מספר טבעי. נציב ערך זה בשוויון הקודם.n , כאשרa = 2nזוגי, ניתן להציגו כ- a אם המספר 2b2 = (2n)2 ⇒ 2b2 = 4n2 / :2 ⇒ b2 = 2n2 , הואb2 . לכן גם אגף שמאל של השוויון,2 כעת אנו רואים שאגף ימין של השוויון זוגי, בגלל הגורם מספר זוגי.bמספר זוגי. מכאן ש- זוגיים, כלומר הם לא מספרים זרים (שהרי ניתן לצמצם b וגם המספר a יוצא, אם כך, שהמספר , שעבורםbו- a ), וזה סותר את ההנחה ההתחלתית-כי קיימים שני מספרים זרים,2את שניהם ב- . = 2 a b מתקיים: כמנה של שני מספרים 2 במילים אחרות: שוויון זה לא קיים, כלומר לא ניתן להציג את המספר שלמים. גילוי זה של להיפאסוס-שקיימים מספרים שלא ניתן להציגם כמנה של שני מספרים שלמים-סתר את הטענה של האסכולה הפיתגורית. למעשה יש אינסוף מספרים אי-רציונליים, למשל: ✔ ✔ יח'. 2יח' ו- 1 הוא אורך האלכסון של מלבן שממדיו הם 5 + = 1 2 5 2 2 ✔ ✔ יח'. 1 הוא אורך האלכסון של קובייה שאורך צלעה + + = 1 1 1 3 2 2 2 + + = 1 1 1 3 2 2 2 = = ( ) ⇒ ⇒ = 2 2 2 a b a b b a 2 2 2 2 2 2 1
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=