-369כל הזכויות שמורות - אתי עוזרי & יצחק שלו - מתמטיקה לכיתה ח' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ✔ ✔ בין כל שני מספרים שונים ניתן בקלות למצוא מספר נוסף ללא סיוע של ציר המספרים. y y 8 11 , ... , 5 11 , 4 11 , 3 11 . למשל: 9 11ל- 2 11 נמצא מספר בין המספרים y y . לצורך זה נרחיב תחילה את השברים - למשל, נכפול את המונה 4 17 ל- 3 17 נמצא מספר בין . = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 4 17 4 10 17 10 40 170 , 3 17 3 10 17 10 30 170 ונקבל: ,10והמכנה של כל אחד מהשברים ב- . 39 170 , 38 170 , ... , 33 170 , 32 170 , 31 170 דוגמאות למספרים שביניהם הם: y y . נרחיב כל אחד מהשברים כך שהמכנים שלהם יהיו זהים. 3 5 ל- 1 3 נמצא מספר בין . 8 15 , 7 15 , 6 15 . דוגמאות למספרים שביניהם הם: = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 1 3 1 5 3 5 5 15 , 3 5 3 3 5 3 9 15 y y במבט ראשון נראה כי ניתן לתאר כל מספר הנמצא על ציר המספרים בדרך שתיארנו קודם. כלומר: כל המספרים (כולל המספרים השלמים) ניתנים להצגה כמנה של שני מספרים שלמים, ובנוסף יש הצגות רבות למספר. דוגמאות . א . עם זאת יש רק הצגה מצומצמת אחת ויחידה של המספר, 1 2 הם הצגות של המספר 17 34 , 5 10 , 8 16 .מספרים זרים. במקרה זה המספרים במונה ובמכנה נקראים 1 2 והיא . ב הם מספרים3ו- 2 , כאשר 2 3 הם הצגות של אותו מספר, שההצגה המצומצמת שלו היא 2 3 , 14 21 , 4 6 זרים (מספרים שלא ניתן לצמצמם). האסכולה הפיתגורית, שנוסדה על-ידי פיתגורס, טענה כי ניתן להציג כל מספר כיחס בין שני מספרים שלמים. לפי האגדה סתר היפאסוס, אחד מחברי האסכולה, את הטענה של האסכולה, וגילה שלא ניתן להציג את כמנה של שני מספרים שלמים. 2 המספר לפנינו שתי שאלות: (( ( 1 הוא אכן "מספר אמיתי"? 2 אכן קיים? כלומר האם 2 האם (( ( 2 כמנה של שני מספרים שלמים? 2 האם לא ניתן להציג את נענה על שתי השאלות: (( ( 1 יח'. לפי משפט פיתגורס אורך 1 נתבונן בריבוע, שאורך צלעו + = 1 2 1 2 2 אלכסון הריבוע הוא: יח', כלומר קיים קטע (אלכסון) 1 אין ספק לגבי ה"אמיתות" של ריבוע, שאורך צלעו . 2 . לכן אין ספק גם לגבי "אמיתות" המספר 2 שאורכו 1 1
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=