אשכול פיננסי כלכלי יח״ל 3 רמת 4609 מספר אישור: 26.3.25 אושר בתאריך:
אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2025 © 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-71 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-89-5 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול פיננסי כלכלי 4609 מספר אישור: 26.3.25 אושר בתאריך: יח״ל 3 רמת
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י״א – חלק ג' – אשכול פיננסי כלכלי" מתאים לתכנית הלימודים החדשה ברמת יח"ל. 3 ספר זה הוא השלישי מתוך שלושה ספרים, ועוסק בתכנים מתמטיים בהקשרים של תופעות מתחום הפיננסי כלכלי. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית, גרפית וגיאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים בנושאים שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י׳, והנדרשים לצורך לימוד יחידות לימוד. 3 הנושאים בספר זה. בנוסף מצורף נוסחאון מתמטיקה - מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. , יש להוריד לטלפון אפליקציה לקריאת הקוד. סריקת הקוד מקשרת QR שאלה, שבה מופיע קוד ליישומון, סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע, הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול. יחידות 3 שאלה אוריינית, שמבוססת על שאלה המופיעה בקובץ שאלות ומשימות אורייניות לתלמידי לימוד שבאתר משרד החינוך.
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1.................................................................................................. אשכול פיננסי כלכלי – פתיח 2......................................................................... יחידה ראשונה – גדילה ודעיכה מעריכיות 3............................................................................................. זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה . א 4 ���������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי . ב 6 ��������������������������������������������������������������������������������������� המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי תהליכים מעריכיים – ללא שימוש בנוסחה . א 11 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים . ב 14 ���������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ג 19 ������������������������������������������� מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות תהליכים מעריכיים – באמצעות נוסחה . א 24 ���������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן . ב 30 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת הכמות ההתחלתית . ג 35 ���������������������) מציאת מקדם הגדילה/דעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן (שאינן בהכרח עוקבות . ד 42 ���������������������������������������������������������������������������������������������������� מציאת מספר יחידות הזמן תהליכים מעריכיים – תיאורים ויזואליים . א 46 ���������������������������������������������������������������������������������������� זיהוי הערכים בתיאורים ויזואליים . ב 50 ������������������������������������������������������� מציאת הכמויות, מקדם גדילה/דעיכה ומספר יחידות הזמן השוואה בין תהליכים . א 57 ��������������������������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליכים מעריכיים . ב 66 ���������������������������������������������������������������������������� השוואה בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי 72. ........................................................................................................................ תרגול משולב ומסכם 76. .......................................................................................................................................... תשובות
כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 82...... שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידערבעונים, עשירונים וסטיית תקן - יחידה שנייה - המשמעות של מדדי המיקום היחסי . א 83 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ רבעונים . ב 90 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� עשירונים חישוב מדדי המיקום היחסי . א 95 �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� חישוב רבעונים . ב 99 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� חישוב עשירונים . ג 102 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� תרגול משולב 107............................................................................................ המשמעות של מדד הפיזור - סטיית התקן חישוב סטיית התקן . א 112 ��������������������������������������������������������� שימוש בנוסחה לחישוב סטיית התקן וחישובה במחשבון . ב 123 ��������������������������������������������������� חישוב סטיית התקן - מציאת נעלמים בשאלות סטטיסטיקה . ג 129 ������������������������������������������������������������� לחישוב סטיית התקן - הרחבה Excel שימוש בתוכנת 136.............................................................................) סטיית התקן – שינוי בערכי המשתנה (אחד או יותר 144..................................................................................) תוספת או הורדה של ערך משתנה (אחד או יותר 150.......................................................................................................................................... תשובות 159.......................................................................................................................... מבחני מתכונת 256.......................................................................................................................................... תשובות 267................................................................................................ מיון השאלות במתכונות לפי הנושאים 268...................................................................................................... שאלות אורייניות נוספות 283.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 285............................................................................................................................ נספח א׳ - אחוזים 288........................................................................................ ) נספח ב׳ - מדדי מרכז (ממוצע, חציון ושכיח 293.......................................... נספח ג׳ - ההגדרות, התכונות, ההיקפים והשטחים של הצורות הגיאומטריות 301................................................................................................. יחידות לימוד 3 – נוסחאון מתמטיקה
1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול פיננסי כלכלי – פתיח • באשכול זה יידרש שימוש במיומנויות שנרכשו בלימודי כיתה י', והן: ✔ פתרון משוואות ליניאריות וריבועיות. ✔ קריאת מידע מייצוגים שונים. ✔ כלים סטטיסטיים. ✔ הסתברות בסיסית. • יחידות: 2 אשכול פיננסי כלכלי מכיל ✔ יחידה ראשונה: למידת תהליכים ותופעות המתנהגים באופן מעריכי בהקשר פיננסי כלכלי. יחידה זו היא המשך ליחידה הראשונה של אשכול מדעים וחברה. מטרת היחידה היא לחזק את הבנת התהליכים המתנהגים באופן מעריכי עם הקשרים פיננסיים וכלכליים. ✔ יחידה שנייה: רבעונים, עשירונים וסטיית תקן – שימוש בכלים סטטיסטיים לעיבוד מידע. יחידה זו היא המשך היחידה השנייה של אשכול מדעים וחברה. בנוסף לחיזוק הבנת סטיית התקן, היחידה מציגה את מדדי המיקום היחסי: רבעונים ועשירונים.
2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה גדילה ודעיכה מעריכיות שנלמד ביחידה הראשונה של אשכול מדעים וחברה.גדילה ודעיכה מעריכיותיחידה זו היא המשך הנושא מטרת היחידה היא לחזק את הבנת התהליכים המעריכיים עם הקשרים פיננסיים וכלכליים, ולתאר אותם באופן מילולי, גרפי, אלגברי ובטבלה. .נספח א'ביחידה זו ייעשה שימוש בנושא אחוזים, שנלמד בחטיבת הביניים ובכיתה י' – ראו ביחידה זו ייעשה שימוש גם בנושאים הבאים: • פתרון משוואות ממעלה ראשונה. • פתרון משוואות מעריכיות. • שינוי נושא נוסחה. • המרת יחידות. הידעתם? היא סכום הכסף הנוסף, המשולם על ידי לֹווֶה למַלְווה תמורת הזכות להשתמש בסכום כסף מסוים למשך ריבית תקופה מסוימת. הלֹווֶה משלם למַלְווה את הריבית בנוסף להחזר הסכום המקורי. (ריבית מצטברת) היא ריבית המחושבת לא רק על הסכום המקורי, אלא גם על הריבית שהצטברה ריבית דְריבית בתקופה הקודמת. מידע נוסף בנושאים פיננסים - באתר משרד האוצר "האוצר שלי": משימת פתיחה שקלים ולהחזירה בתום שנתיים. 10,000 יאיר מעוניין לקחת הלוואה של ליאיר הציעו שתי אפשרויות: על ההלוואה. 10% בתום תקופה של שנתיים ישלם יאיר ריבית של אפשרות א': 5% בתום תקופה של שנתיים ישלם יאיר ריבית שנתית של אפשרות ב': על ההלוואה. מהו, לדעתכם, ההבדל בין שתי האפשרויות? איזו הלוואה כדאי ליאיר לקחת? .76 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳
3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © זיהוי תהליכים מעריכיים של גדילה/דעיכה בפרק זה נלמד לזהות תהליך מעריכי/ליניארי לפי ההגדרה שנלמדה באשכול מדעים וחברה. המידע בפרק מוצג הגדרה – תזכורת • מספר קבוע של ב מספר קבוע" או "פיתהליך מעריכי הוא תהליך, שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת " ."אחוזים • .יחידותמספר קבוע של בתהליך ליניארי (קווי) הוא תהליך, שבו הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת באמצעות תיאור מילולי או ויזואלי, ומתאר מצבים בחיי היום יום בהקשר פיננסי כלכלי. כדי להמחיש את ההבדל בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי נתבונן בדוגמה הבאה. שקלים כל אחת. 5000 שתי יצירות אומנות של אומן מתחיל נמכרו בשנה מסוימת ב- עם השנים גדלה ההכרה בכשרון האומן בקרב מבקרי אומנות ואספנים, ולכן עלה המחיר של שתי יצירותיו. שקלים. 2000 הערך של היצירה הראשונה גדֵל בכל שנה ב- .1.3 הערך של היצירה השנייה גדֵל בכל שנה פי השנים הראשונות כמעט לא היה הבדל בין מחירי שתי היצירות. 3 באך שימו לב למה שקרה בשנים הבאות! הערך של היצירה הראשונה המשיך לגדול בקצב קבוע. לעומת זאת הערך של היצירה השנייה גדֵל משנה לשנה בקצב מהיר יותר. ✔ הערך של היצירה השנייה היה גדול מהערך של שנים - 5 לאחר היצירה הראשונה, שהרי: (5000 + 2000 + 2000 + 2000 + 2000 + 2000) שקלים 15000 היצירה הראשונה: (5000 ∙ 1.3 ∙ 1.3 ∙ 1.3 ∙ 1.3 ∙ 1.3) שקלים 18565 היצירה השנייה: כ- ההפרש בין הערכים של שתי היצירות ילך ויגדל ככל שיעברו השנים. • ) בכל שנה, ולכן לפי ההגדרה מדובר 2000 מספר קבוע של שקלים (ב- בהערך של היצירה הראשונה גדֵל .בתהליך ליניארי (קווי) • ) בכל שנה, ולכן לפי 30% קבוע שהוא באחוז גדֵל = 1.3 מספר קבוע (פי פיהערך של היצירה השנייה גדֵל .בתהליך מעריכיההגדרה מדובר מה נלמד? ✔ זיהוי תהליכים מעריכיים, שבהם המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי. ✔ זיהוי תהליכים מעריכיים, שבהם המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי. .76 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' 15000 5000 25000 0 1 3 4 6 7 8 5 2 20000 30000 35000 40000 10000 השנה יצירה שנייה יצירה ראשונה מחיר היצירה (בשקלים)
4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © .א המידע מוצג באמצעות תיאור מילולי בסעיף זה נלמד להבחין בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי. אם מדובר בתהליך מעריכי, תיעשה הבחנה אם מדובר בתהליך גדילה או בתהליך דעיכה. המידע בסעיף זה מוצג באמצעות תיאור מילולי. הסבר ודוגמה פתורה הגדרה - תזכורת אפשרויות: 2 בתהליך מעריכי ייתכנו • מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר גדֵלה הוא תהליך, שבו הכמות גדילה מעריכיתתהליך קבוע של אחוזים". • מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר קטֵנה הוא תהליך, שבו הכמות דעיכה מעריכיתתהליך קבוע של אחוזים". דוגמה לפניכם ארבעה תהליכים המוצגים באמצעות תיאור מילולי. • קבעו באילו מהתהליכים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך ליניארי. • אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. . א חודשים. 10 אגורות מדי חודש במהלך 15 מחיר ליטר דלק עלה ב- . ב בכל שנה. 0.8 מחירו של מסך מחשב קטֵן, והוא מוכפל ב- . ג .7% המחיר של פאנל סולארי קטֵן בכל שנה ב- . ד שנים. 3 לתקופה של ₪ 200,000 דניאל הפקיד בתכנית חיסכון בטבלה הבאה מופיע מצב התוכנית במשך שנות החיסכון: השנה הסכום המצטבר (בשקלים) 1 210,000 2 220,500 3 231,525 פתרון: . א אגורות מדי חודש. מדובר בתהליך, שבו מחיר ליטר דלק משתנה מדי יחידת זמן 15 ב- מחיר ליטר דלק עלה של יחידות. לכן לפי ההגדרה התהליך הוא ליניארי.במספר קבועאחת (חודש) . ב בכל שנה. מדובר בתהליך, שבו מחירו משתנה מדי יחידת זמן 0.8 מחירו של מסך מחשב קטֵן והוא מוכפל ב- , מדובר קטֵן. לכן לפי ההגדרה התהליך הוא מעריכי. מאחר שמחיר מסך המחשב פי מספר קבועאחת (שנה) בתהליך של דעיכה מעריכית. .0.8 שימו לב! בכל שלב כופלים ב-
5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ג . מדובר בתהליך, שבו מחיר הפאנל הסולארי קטֵן מדי יחידת 7%-בהמחיר של פאנל סולארי קטֵן בכל שנה , מדובר קטֵן. לכן לפי ההגדרה התהליך הוא מעריכי. מאחר שהמחיר במספר קבוע של אחוזיםזמן אחת (שנה) בתהליך של דעיכה מעריכית. .0.93 שימו לב! בכל שלב כופלים ב- . ד נעקוב אחר השינוי בסכום הכסף שהצטבר בחיסכון. • הסכום לא משתנה במספר קבוע, כי: 210,000 – 200,000 ≠ 220,500 – 210,000 ≠ 231,525 – 220,500 10,000 ≠ 10,500 ≠ 11,025 • הסכום משתנה פי מספר קבוע, כי: 210 000 200 000 220 500 210 000 231525 220 500 , , , , , , = = 1.05 = 1.05 = 1.05 בכל שנה. מדובר בתהליך, שבו הסכום משתנה מדי יחידת זמן אחת 1.05 פיהסכום המצטבר בחיסכון גדֵל , מדובר גדֵל (אותו חישבנו). לכן לפי ההגדרה התהליך הוא מעריכי. מאחר שהסכום פי מספר קבוע(שנה) בתהליך של גדילה מעריכית. .1.05 שימו לב! בכל שלב כופלים ב- לפניכם תהליכים המוצגים באמצעות תיאור מילולי. • קבעו באילו מהתהליכים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך ליניארי. • אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או של דעיכה. 1 . בכל חודש. 1.02 הכנסותיה של מסעדה גדלו פי 2 . שקלים בכל שנה. 1,000 עלות גן פרטי גדֵלה ב- 3 . בכל חודש. 5% התשלום עבור חשבון חשמל קטֵן ב- 4 . בכל שנה. 0.9 מחיר מעבד מחשב קטֵן, והוא מוכפל ב- 5 . בכל שנה. 15% מחיר של מטבע קריפטו מסוים גדֵל ב- 6 . שקלים בכל שנה. 1,000,000 הוצאותיה של עיר מסוימת גדלו ב- 7 . בכל שנה. 10% הוצאות חברה על אירוח קטנו בהידעתם? היא תכנית חיסכון לטווח ארוך או בינוני לשכירים או לעצמאים. החוסך,קופת גֶמֶל המכונה "עמית", מפקיד כספים לקופה מדי חודש, על מנת שיוכל למשוך אותם בעתיד בדרך של תשלום חד-פעמי או כקצבה על חשבון הכספים שחסך.
6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © לפניכם תהליכים המוצגים באמצעות טבלה. • קבעו באילו מהתהליכים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך ליניארי. • אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או של דעיכה. 8 . שנים. 3 שקלים. בטבלה הבאה מופיע מצב הכסף בקופת הגֶמֶל במהלך 50,000 דנה הפקידה בקופת גֶמֶל השנה הסכום המצטבר (בשקלים) 1 52,000 2 54,080 3 56,243.2 9 . שקלים. 10,000 מחירו של מטבע עתיק הוערך ב- שנים: 3 בטבלה הבאה מופיעה הערכת המחיר של המטבע במשך השנה מחיר המטבע (בשקלים) 1 11,500 2 13,000 3 14,500 10 . שקלים. 10 של שנה מסוימת היה 1.7 מחירו של ליטר סולר בתאריך בטבלה הבאה מופיע מחירו של ליטר סולר במשך שלושת החודשים הבאים של אותה השנה. התאריך מחיר ליטר סולר (בשקלים) 1.8 9 1.9 8.1 1.10 7.29 .ב המידע מוצג באמצעות תיאור ויזואלי בסעיף זה נלמד להבחין בין תהליך מעריכי לתהליך ליניארי. אם מדובר בתהליך מעריכי, תיעשה הבחנה אם מדובר בתהליך גדילה או בתהליך דעיכה. המידע בסעיף זה מוצג באמצעות תיאור ויזואלי. - תיאור באמצעות גרף • (עולה, יורד או קבוע). קו ישר מוצג באמצעותתהליך ליניאריתיאור ויזואלי של • (עולה או יורד).קו עקום מוצג באמצעות תהליך מעריכיתיאור ויזואלי של נעסוק בתיאורים ויזואליים של תהליכים שאינם ליניאריים או מעריכיים.לאהערה: בספר זה הסבר ודוגמה פתורה
7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה לעינת יש שני תיקי השקעות שסכומי הכסף שבהם יכולים לעלות או לרדת. תיאורים ויזואליים של תהליכים מעריכיים או ליניאריים, המתארים את סכומי הכסף של עינת לפי 4 לפניכם החודשים. היעזרו בהגדרה וקבעו באילו מהתיאורים הוויזואליים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך ליניארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. נמקו. . א . ב . ג . ד החודש הסכום (בשקלים) החודש הסכום (בשקלים) החודש הסכום (בשקלים) החודש הסכום (בשקלים) פתרון: • .ליניארייםבתיאורים הוויזואליים א' ו-ג' מופיעים קווים ישרים, כלומר מוצגים בהם תהליכים בגרף א' מוצג ישר יורד, המתאר ירידה בסכום הכסף במהלך החודשים, ובגרף ג' מוצג ישר עולה, המתאר עלייה בסכום הכסף במהלך החודשים. • .מעריכייםבתיאורים הוויזואליים ב' ו-ד' מופיעים עקומים, כלומר מוצגים בהם תהליכים בסכום הכסף במהלך החודשים, ובגרף ד' מוצג עקום יורד, גדילה מעריכיתבגרף ב' מוצג עקום עולה, המתאר בסכום הכסף במהלך החודשים.ירידה מעריכיתהמתאר לפניכם תהליכים המוצגים באמצעות תיאור ויזואלי. • קבעו באילו מהתהליכים מתואר תהליך מעריכי, ובאילו מתואר תהליך ליניארי. • אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או של דעיכה. 11 . החודש הסכום בתכנית החיסכון (בשקלים) 12 . השנה מחיר הרכב (בשקלים) 13 . היום הסכום שנאסף לטיול (בשקלים)
8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 14 . החודש היתרה לתשלום (בשקלים) 15 . דוגמה פתורה - תיאור באמצעות דיאגרמת עמודות בחדשות כלכליות ומידע פיננסי מוצג מעקב אחרי מחירי מניות. מניות בכל יום 4 דיאגרמות עמודות, המתארות תהליכים של השתנות המחירים (בשקלים) של 4 לפניכם ימים: תהליכים מעריכיים ותהליכים ליניאריים בלבד. 5 במשך . א ?2 מחירה של איזו מניה הוא הגבוה ביותר ביום ה- . ב מחיריהן של אילו מניות הם במגמת עלייה? . ג זַהּו באילו דיאגרמות מתואר תהליך מעריכי. נמקו. . ד בדיאגרמות, שבהן מתואר תהליך מעריכי, זַהּו אם מדובר בגדילה מעריכית או בדעיכה מעריכית. ( 1) ( 3) השנה השכר לשעה (בשקלים) השבוע מחיר המניה (בשקלים) 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 100 50 0 450 400 160 64 25.6 10.2 300 250 400 350 200 150 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 20 120 100 60 70 80 90 100 60 80 40 0 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 20 10 90 85 70 55 40 25 60 50 80 70 40 30 0 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 200 1000 90 162 291.6 524.9 944.8 600 800 400 0
9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א , יש להשוות את גובהי העמודות ביום זה בכל 2 כדי למצוא מחירה של איזו מניה הוא הגבוה ביותר ביום ה- שקלים, 162 ארבע הדיאגרמות (העמודות הצהובות). מעל כל עמודה מופיע ערך מספרי, והגדול בהם הוא .2 ביום ה- (4) שזהו מחירה של מניה שקלים. 162 ושווה ל- 2 הוא הגבוה ביותר ביום ה- (4) תשובה: מחירה של מניה . ב הם במגמת עלייה, שכן מחיריהן גדֵלים מיום ליום. (4) ו- (2) מחיריהן של מניות . ג כדי לזהות ביתר קלות את התהליכים המעריכיים, נוסיף לכל עמודה בכל דיאגרמת עמודות נקודה במרכז הצלע העליונה, ונחבר את הנקודות. ( 1) ( 3) חיבור הנקודות יוצר קו ישר, ולכן הדיאגרמות מתארות תהליך ליניארי (קווי). (3) ו- (2) בדיאגרמות מתארות (4) ו- (1) חיבור הנקודות יוצר גרף שאינו קו ישר - קו עקום, ולכן דיאגרמות (4) ו- (1) בדיאגרמות תהליך מעריכי. . ד הוא גרף יורד, ולכן התהליך המוצג בדיאגרמה זו הוא תהליך של (1) הגרף המחבר את הנקודות בדיאגרמה הוא גרף עולה, ולכן התהליך המוצג בדיאגרמה זו (4) . הגרף המחבר את הנקודות בדיאגרמה דעיכה מעריכית .גדילה מעריכיתהוא תהליך של 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 100 50 450 300 250 400 350 200 150 0 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 20 120 100 60 80 40 0 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 20 10 90 60 50 80 70 40 30 0 5 4 3 2 1 מחיר המניה (בשקלים) היום 200 1000 600 800 400 0
10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 17 . עקב בלאי ותנאי אחסון לקויים משתנה הערך של ספר נדיר במהלך השנים. לפניכם דיאגרמת עמודות, המציגה את המחיר של ספר מסוים שנים שחלפו ממועד קנייתו. 5 (בשקלים) במשך . א מה היה מחיר הספר שנה אחת לאחר קנייתו? . ב שקלים? 400 לאחר כמה שנים היה מחיר הספר נמוך מ- . ג קבעו אם מתואר בדיאגרמה תהליך מעריכי או תהליך ליניארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. נמקו. 18 . לאחר פיתוח סביבתי של שכונה מסוימת השתנה המחיר של נכס הממוקם בה. לפניכם דיאגרמת עמודות, המתארת את המחיר של הנכס שנים שחלפו ממועד קנייתו. 5 במשך . א לאחר כמה שנים היה מחיר הנכס מקסימלי? לאחר כמה שנים היה מחיר הנכס מינימלי? . ב האם ככל שעוברות השנים מחיר הנכס הוא במגמת עלייה או במגמת ירידה? . ג קבעו אם מתואר בדיאגרמה תהליך מעריכי או תהליך ליניארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. נמקו. 19 . במהלך שנות עבודתו השתנה שכרו לשעה של העובד בשל צבירת ותק. לפניכם דיאגרמת עמודות, המציגה את השינוי בשכרו לשעה שנות עבודתו. 5 במהלך . א שקלים לשעה? 70 באילו שנים היה שכרו נמוך מ- . ב כמה שקלים מתווספים לשכרו לשעה בכל שנה? . ג קבעו אם מתואר בדיאגרמה תהליך מעריכי או תהליך ליניארי. אם מתואר תהליך מעריכי, קבעו אם מדובר בתהליך של גדילה או בתהליך של דעיכה. נמקו. 5 4 3 2 1 מחיר הספר (בשקלים) השנה 100 200 800 500 600 0 700 300 400 700 490 343 240.1 168.07 5 4 3 2 1 מחיר הנכס (בשקלים) השנה 200000 1200000 800000 0 1000000 600000 400000 200000 300000 450000 675000 1012500 5 4 3 2 1 השכר לשעה (בשקלים) השנה 10 90 80 70 60 30 0 50 40 20 50 58 66 74 82
11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תהליכים מעריכיים - ללא שימוש בנוסחה בפרק זה נתמקד בחישוב כמויות בתהליכים מעריכיים ללא שימוש בנוסחה. נדרש זיהוי הנתונים וזיהוי מה שמבוקש – תוך שיוכם למושגים מתאימים. כמו כן נדרש חישוב מקדם הגדילה/דעיכה על סמך נתונים נוספים וזיהוי יחידת הזמן. מספר יחידות הזמן בפרק זה הוא קטן, וכך ניתן לבצע את החישובים ללא שימוש בנוסחה. ומתאר תהליכים מעריכיים בחיי היום יום בהקשר פיננסי כלכלי.תיאור מילוליהמידע בפרק זה מוצג באמצעות מה נלמד? ✔ זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים. ✔ מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. ✔ מציאת מקדם הגדילה/הדעיכה לפי כמויות בשתי יחידות זמן עוקבות. .77-76 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' .א זיהוי הערכים בתהליכים מעריכיים בסעיף זה נציג דוגמאות, שבהן יינתן תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, ומתוכו נלמד לזהות מה מייצגים: הכמות ההתחלתית, מקדם גדילה/דעיכה, יחידת הזמן, הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. הסבר ודוגמאות פתורות הגדרה-תזכורת בתהליך מעריכי הכמות משתנה מדי יחידת זמן אחת "פי מספר קבוע" או "במספר קבוע של אחוזים". .q ומסמנים אותו ב- מקדם הגדילה / דעיכהלמספר קבוע זה קוראים לדוגמה: ✔ .q = 2 בכל שנה. מקדם הגדילה הוא 2 מחיר מניה גדֵל פי ✔ 90% בכל חודש, כלומר ההוצאה על דלק מהווה 10% ההוצאה המשפחתית על דלק קטֵנה ב- מההוצאה על דלק בחודש הקודם. מכיוון שההוצאה על דלק קטֵנה, מדובר בתהליך (100% − 10%) .(90% = 0.9) q = 0.9 דעיכה, ומקדם הדעיכה הוא :(q) למקדם הגדילה/דעיכה (p) ניתן להשתמש בנוסחה הבאה, המראה את הקשר בין אחוז הגדילה/דעיכה q p = ± 100 100 , ומדובר בתהליך דעיכה, ולכן: p = 10 " עבור דעיכה. במקרה זה − " עבור גדילה, והסימן " + הסימן " q p = = = − − 100 100 100 10 100 0.9
12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © בתהליך המעריכי משתתפים ארבעה ערכים: • הכמות ההתחלתית. • הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. • מקדם הגדילה/דעיכה. • הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. נזהה את ארבעת הערכים בדוגמאות הבאות. דוגמה א' – תהליך דעיכה מעריכית בצורה מעריכית, קטֵןעקב בלאי ותחזוקה לקויה מחיר אופנוע בכל שנה. 0.8 והוא מוכפל ב- שקלים. 15,000 בקנייתו מחיר האופנוע היה שקלים. 6,144 שנים הגיע מחירו ל- 4 לאחר זַהּו את הערכים הבאים: . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. פתרון: . א שקלים. 15,000 היא הכמות ההתחלתית . ב שקלים. 6,144 שנים הגיע מחירו של האופנוע ל- 4 . נתון שלאחר שנה המוצגת בשאלה היא יחידת הזמן .יחידות זמן 4 שנים שהן 4 כלומר מדובר כאן על . ג בכל שנה. 0.8 בדוגמה זו נתון שמחיר האופנוע קטֵן בצורה מעריכית, והוא מוכפל ב- מקדם הגדילה/דעיכה – המילה "קטֵן" מצביעה על דעיכה, ולא על גדילה. מקדם הדעיכה הוא הערך, שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת .)1 ל- 0 בין 0.8( 0.8 מקדם הדעיכה הוא זמן. בדוגמה זו . ד הכמות שנתונה או מבוקשת לאחר/לפני זמן מסוים מתחילת התהליך.הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן – . שקלים 6,144 היא הכמות המבוקשתבדוגמה זו דוגמה ב' – תהליך גדילה מעריכית בכל חצי שנה. 10% משכורתה החודשית ב-גדֵלהבעקבות ההתקדמות בהכשרתה של תמר בעבודה שקלים. 8,000 כיום משכורתה החודשית היא שקלים. 10,648 בעוד שנה וחצי תהיה משכורתה זַהּו את הערכים הבאים (בסעיף ג׳ יש לחשב ולרשום את מקדם הגדילה/דעיכה): . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן – יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן.
13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © פתרון: . א שקלים. 8,000 היא הכמות ההתחלתית . ב בכל חצי שנה. כלומר יחידת הזמן היא חצי שנה. 10% נתון: משכורתה החודשית של תמר גדֵלה ב- שקלים. 10,648 כעת נזהה את מספר יחידות הזמן. בהמשך השאלה נתון: בעוד שנה וחצי תהיה משכורתה כלומר: עלינו למצוא כמה פעמים מופיעה יחידת הזמן חצי שנה בתקופה של שנה וחצי. יחידות זמן של חצי שנה. 3 בשנה אחת יש שני חצאי שנה, לכן בתקופה של שנה וחצי יש . יחידות זמן 3 , ויש חצי שנה היא יחידת הזמןתשובה: . ג בכל חצי שנה. המילה "גדֵלה" מצביעה על גדילה 10% בשאלה נתון שמשכורתה של תמר גדֵלה ב- q= = = + 100 10 100 110 100 1.1 , ונקבל: q p = + 100 100 , נשתמש בנוסחה p = 10 ולא על דעיכה. .)1 גדול מ- 1.1( 1.1 מקדם הגדילה הוא תשובה: . ד . שקלים 10,648 היא הכמות המבוקשת בדוגמה זו הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן – הערות: • יחידת הזמן היא לא תמיד יחידה שלמה, כמו שעה, יום, שבוע, חודש וכו'. יחידת הזמן נקבעת על-פי נתוני התרגיל בהתאמה למקדם הגדילה / דעיכה. למשל: חודשים. 3 כל 20% בכל חצי שעה או קטֵן ב- 1.3 גדֵל פי • ) בעזרת הנוסחה הבאה: q ), נחשב את מקדם הגדילה / דעיכה ( p אם נתון האחוז, שבו הכמות גדֵלה או קטֵנה ( " עבור דעיכה. − " עבור גדילה, והסימן " + . הסימן " q p = ± 100 100 • .1 ל- 0 , ומקדם הדעיכה הוא מספר בין 1 בתהליך מעריכי מקדם הגדילה הוא מספר הגדול מ- יש לחשב ולרשום את מקדם 26−22 בכל אחד מהתיאורים המילוליים הבאים זַהּו את הערכים הבאים (בשאלות הגדילה/דעיכה): . א הכמות ההתחלתית. . ב הזמן - יחידת הזמן ומספר יחידות הזמן. . ג מקדם הגדילה/דעיכה. . ד הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן. 20 . בעקבות סיקור תקשורתי נרחב של אומן בכל שנה. 1.15 הערך של יצירת האומנות שלו פי גד ֵל שקלים. 100,000 בשנה מסוימת היה מחירה שקלים. 248,832 שנים היה מחירה 5 לאחר 21 . משפחה החליטה לצמצם בהדרגה את הסכום החודשי שהוקצב לביגוד כדי להקטין את הוצאותיה. בכל חודש. 0.91 , והוא מוכפל ב- קטֵןלכן הסכום החודשי שהוקצב לביגוד שקלים. 2000 בחודש מסוים הוציאה המשפחה על ביגוד שקלים. 1371.5 חודשים הוציאה המשפחה על ביגוד 4 לאחר
14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 22 . בכל שנה. 10% ב-עלהלאחר שיפוץ ועלייה בביקוש מחירה של מכונית אספנות שקלים. 20,000 היה מחירה 2019 בשנת שקלים. 29,282 היה מחירה 2023 בשנת 23 . בכל שנה. 12% ערכו של מזגן ב- קטֵןבעקבות יציאה לשוק של דגמים חדשים וחסכוניים בחשמל שקלים. 5000 מחיר המזגן בקנייתו היה שקלים. 734.87 שנים הגיע מחירו ל- 15 לאחר 24 . בכל שנה 15% ב-קטֵנההלוואה לצורך שיפוץ, שנלקחה מהבנק, בעקבות החזרים חודשיים של הלווה. שקלים. 300,000 סכום ההלוואה שנלקחה היה שקלים. 69,485 שנים סכום ההלוואה הצטמצם ל- 9 לאחר 25 . בכל חצי שנה. 4% בתכנית ביטוח מנהלים מסוימת נותן הבנק ריבית של שקלים. 150,000 לתכנית הופקד סכום של שקלים. 182,498 לאחר שנתיים וחצי הסכום המצטבר בתכנית היה 26 . בכל שלושה חודשים. 5% ב-גדלובעקבות פרסום נרחב של מוצרי חברה מסוימת הכנסותיה שקלים. 200,000 היו הכנסות החברה 1/1/23 ב- שקלים. 243,101 היו הכנסות החברה 1/1/24 ב- .ב מציאת הכמות אחרי/לפני מספר יחידות זמן בסעיף זה נציג תיאור מילולי של תהליך גדילה/דעיכה, שבו נתונים שלושה מהערכים בתהליך, ועל פיהם יש לחשב (ללא נוסחה) את הערך החסר. נתייחס למקרים מגוונים, שבהם יש לחשב את הכמות אחרי/לפני מספר יחידות הזמן. דוגמאות פתורות דוגמה א' – תהליך גדילה מעריכית בעקבות פיתוח סביבתי והגירה חיובית ליישוב מסוים מחירה של בכל שנה. 1.05 פי גדֵלדירה ביישוב שקלים. 2,000,000 היה מחיר הדירה 2019 בשנת
15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול פיננסי כלכלי - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . א זַהּו את הערכים הנתונים: כמות התחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב ?2022 מה היה מחירה של הדירה בשנת . ג ?2017 בהנחה שמחיר הדירה גדל באותו קצב, מה היה מחירה של הדירה בשנת עגלו את המחיר לשקלים שלמים. פתרון: . א .1.05 שקלים, יחידת הזמן היא שנה, ומקדם הגדילה הוא 2,000,000 הכמות ההתחלתית היא . ב ,1.05 , כלומר המחיר גדֵל כל שנה פי 1.05 שנים. מקדם הגדילה הוא 3 חולפות 2022 ועד לשנת 2019 משנת ולכן מתקיים: 2019 2020 2021 2022 2,000,000 2,100,000 2,205,000 2,315,250 לאחר שנה אחת ∙1.05 לאחר שנתיים ∙1.05 לאחר שנים 3 ∙1.05 שקלים. 2,315,250 שנים, מחירה של הדירה היה 3 , כלומר לאחר 2022 תשובה: בשנת . ג ), ביצענו פעולות כפל תוך 2019 לחישוב המחיר בשנים שלאחר השנה, שבה נתון המחיר ההתחלתי ( התקדמות משנה לשנה לאורך ציר הזמן. היא שנה מוקדמת יותר מהתאריך, שבו נתונה הכמות ההתחלתית. 2017 שנת , נבצע פעולת חילוק כדי לסגת לשנים מוקדמות יותר: 2017 לחישוב מחיר הדירה בשנת 2017 2018 2019 2020 2021 2022 1,814,059 1,904,762 2,000,000 2,100,000 2,205,000 2,315,250 לפני שנתיים :1.05 לאחר שנה אחת ∙1.05 ההתחלה לפני שנה אחת :1.05 לאחר שנתיים ∙1.05 לאחר שנים 3 ∙1.05 שקלים. 1,814,059 היה מחיר הדירה כ- 2017 תשובה: בשנת דוגמה ב' – תהליך דעיכה מעריכית שקלים. בעקבות בלאי ויציאה לשוק 30,000 מחיר המכונית של אורי הוא .6% בכל שנה ב- קטֵןשל דגמים חדשים מחיר המכונית . א זַהּו את הערכים הנתונים: כמות התחלתית, יחידת הזמן ומקדם הגדילה/דעיכה. . ב שנים? 3 מה יהיה מחיר המכונית בעוד . ג בהנחה שמחיר המכונית קטֵן באותו קצב, מה היה מחיר המכונית לפני שנתיים? פתרון: . א שקלים. יחידת הזמן היא שנה. נחשב את מקדם הדעיכה: 30,000 המחיר ההתחלתי הוא .) 100 100 94 100 6− = = 0.94) 0.94 , שקולה להכפלה ב- 6% הקטנה ב- .0.94 מקדם הדעיכה הוא
RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=