אשכול התמצאות במישור ובמרחב - כיתה י"א

אשכול התמצאות במישור ובמרחב יח״ל 3 רמת 4609 מספר אישור: 11.12.24 אושר בתאריך:

אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי - אלקטרוני או מכני (לרבות צילום והקלטה), בלא אישור בכתב מהמחברים. , כל הזכויות שמורות למחברים. 2024 © 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 המפיץ: לוני כהן בע״מ 03-9522326 , 03-9518418 :׳ טל 03-9410902 , 03-9518415 : פקס 776-70 : דאנאקוד ISBN: 978-965-7210-88-8 : מסת״ב shalevozeri@mathstar.co.il אי-מייל: www.mathstar.co.il אתרנו: www.mathstarshop.co.il החנות שלנו: 054-5437989 : נייד/וואטסאפ יצחק שלו 077-4200154 :׳ טל 08-8676797 : פקס אתי עוזרי 09-9559222 :׳ טל 09-9555885 : פקס

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב 4609 מספר אישור: 11.12.24 אושר בתאריך: יח״ל 3 רמת

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הקדמה הספר "מתמטיקה לכיתה י״א – חלק ב' – אשכול התמצאות במישור ובמרחב" מתאים לתכנית הלימודים יח"ל. 3 החדשה ברמת ספר זה הוא השני מתוך שלושה ספרים. השאלות באשכול זה ממחישות יישומיות רחבה של גיאומטריה בחיי היום יום. העקרונות, שלפיהם נכתב הספר, הם: בסיס אורייני - מתמטי ורלוונטיות לחיי היום יום; הבנה ועיבוד של מידע; תובנה מספרית, מילולית וגיאומטרית ועוד. מה מיוחד בספר? • . המשימה נלמדת בכיתה ומהווה כלי עזר מצוין כל יחידה מתחילה במשימת פתיחה המסומנת בלפתיחת הנושא הנלמד. • כל יחידה מכילה פרקי לימוד, וכל פרק מכיל סעיפי לימוד. • ברקע האפור שבכל פרק משולבים תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • הספר מכיל תרגול רב. • ברוב המקרים התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך", ולא רק תשובות סופיות. • בסוף הספר יש שלושה נספחים א׳, ב׳ ו-ג׳ בנושאים, שנלמדו בחטיבת הביניים ובכיתה י׳, והנדרשים לצורך לימוד הנושאים בספר זה. • בסוף הספר יש נספח ד׳ - תרגול נוסף בנושאים המופיעים ביחידות שבספר. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה. בנוסף לרציונל הפדגוגי מופיעים בו פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות, וכן הצעות לדרכי הוראה והמחשה. תודתנו נתונה לטלי רואש, ד"ר תמרה אבישר-זלדיס, ניצה פיינרו ורתם פרוידנברג, שהשתתפו בכתיבת חומרי הלמידה שבספר. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מקרא משימת פתיחה, בדרך כלל בתחילת לימוד יחידה. המשימה תילמד בכיתה בהדרכת המורה. שאלה לדיון בכיתה – בקבוצות או בשיח כיתתי, בהדרכת המורה. שאלת חשיבה – שאלה בדרגת חשיבה גבוהה לפתרון בכיתה או בבית לפי שיקול דעת המורה. באתרנו, ובקובץ הדיגיטלי של הספר. סריקת הקוד מקשרת ליישומון, QR שאלה, שבה מופיע קוד סרטון או מידע נוסף. ברוב השאלות לא מופיע מידע הנחוץ לפתרון השאלה עצמה, אלא מידע נוסף הקשור לנושא השאלה, המאפשר העשרה, השוואה או תרגול.

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תוכן העניינים 1........................................................................ אשכול התמצאות במישור ובמרחב – פתיח 2.................................................................. יחידה ראשונה – יחס, פרופורציה וקנה מידה 3................................................................................................................................................... יחס 20. ....................................................................................................................................... פרופורציה 32. ........................................................................................................................................ קנה מידה 44. .......................................................................................................................................... תשובות 48. ......................................................................................... יחידה שנייה – דמיון משולשים 50. ................................................................................................................................... צורות דומות משולשים דומים . א 54 �� הגדרת משולשים דומים . ב 64 �� משפט דמיון משולשים קטעים, זוויות, היקפים ושטחים במשולשים דומים . א 70 �� מציאת אורכי קטעים וגודלי זוויות במשולשים דומים . ב 85 �� היקפים ושטחים במשולשים דומים 101.......................................................................................................................................... תשובות

כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י"א- אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 111........................................................................................ יחידה שלישית – טריגונומטריה פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית . א 113 �� פונקציית הטנגנס במשולש ישר-זווית . ב 118 �� פונקציית הסינוס במשולש ישר-זווית . ג 122 �� פונקציית הקוסינוס במשולש ישר-זווית . ד 125 �� תרגול משולב 133............................................................... פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר-זווית – בחיי היום יום זווית גובה וזווית עומק . א 144 �� זווית גובה . ב 150 �� זווית עומק . ג 154 �� תרגול משולב – זווית ראייה צורות המתפרקות למשולשים ישרי-זווית . א 158 �� צורות משולשות שמתפרקות למשולשים ישרי-זווית . ב 167 �� צורות מרובעות שמתפרקות למשולשים ישרי-זווית 180.......................................................................................................................................... תשובות נספחים 185........................................ נספח א' – ההגדרות, התכונות, ההיקפים והשטחים של הצורות הגיאומטריות 192.................................................................................................................. נספח ב' – המרת יחידות 194.............................................................................................................. נספח ג' – תכונות של זוויות 195...................................................................................................................... נספח ד׳ – תרגול נוסף

1 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © אשכול התמצאות במישור ובמרחב – פתיח • באשכול זה יידרש שימוש בתכונות ובנוסחאות לחישוב היקף ושטח של הצורות הגאומטריות הבאות: ✔ משולשים (משולש כללי, משולש שווה-שוקיים – כולל שווה-צלעות, משולש-ישר זווית). ✔ מרובעים (מקביליות – כולל מקביליות מיוחדות: מלבן, מעוין, ריבוע; טרפז – כולל טרפז שווהשוקיים, דלתון). ✔ מעגל. • יחידות: 3 אשכול התמצאות במישור ובמרחב מכיל ✔ יחידה ראשונה: יחס ופרופורציה בהקשר אורייני – כולל קנה מידה. יחידה זו מטרתה להציג את המושגים יחס ופרופורציה, ולהראות את היישומים שלהם: בהקשר של קנה מידה (ביחידה זו) ובהקשר של דמיון משולשים (ביחידה הבאה). יחידה זו מהווה מבוא לפרק של דמיון משולשים. ✔ יחידה שנייה: דמיון משולשים בהקשר אורייני. הגדרה אינטואיטיבית של דמיון. דמיון משולשים – הגדרה, משפט דמיון – זווית, זווית. תכונות משולשים דומים – כולל היקפים ושטחים. ✔ יחידה שלישית: שימוש בטריגונומטריה בהקשר אורייני. הגדרת סינוס, קוסינוס וטנגנס במשולש ישר-זווית. חישובי צלעות, זוויות, היקפים ושטחים של צורות גיאומטריות המתפרקות למשולשים – תוך שימוש בטריגונומטריה, יחס, דמיון ומשפט פיתגורס.

2 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחידה ראשונה יחס, פרופורציה וקנה מידה , ולהראות את היישומים שלהם: בהקשר של קנה מידה יחס ופרופורציהמטרת היחידה היא להציג את המושגים (ביחידה הבאה). יחידה זו מהווה מבוא לפרק של דמיון משולשים.דמיון משולשים(ביחידה זו) ובהקשר של נושאים אלו נלמדו בחלקם בחטיבת הביניים. ביחידה זו נחזור עליהם בהקשר אורייני ונעמיק בהם. ביחידה זו ייעשה שימוש בנושאים הבאים: • תכונות, היקף ושטח של הצורות הגיאומטריות הבאות: ✔ משולשים – משולש כללי, משולש שווה-שוקיים (כולל שווה-צלעות), משולש ישר-זווית. ✔ מרובעים – מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז (כולל טרפז שווה-שוקיים) ודלתון. ✔ מעגל ועיגול. נספח א׳.ראו • .נספח ב'המרת יחידות – ראו • פתרון משוואות ממעלה ראשונה וממעלה שנייה. משימת פתיחה הם:במציאותבחנות מוצעות סדרת מסגרות לתמונות שממדיהן 2 0 ס״מ ס״מ 40 2 5 ס״מ ס״מ 50 3 0 ס״מ ס״מ 60 . א על סמך התבוננות באורכי הצלעות הסמוכות של כל אחת משלוש המסגרות הנ"ל, קבעו מהי התכונה המשותפת לכל אחת מהמסגרות. בסדרת המסגרות שבחנות יש מסגרות נוספות בעלות אותה התכונה. . ב ס"מ. מהו אורך הצלע הארוכה במסגרת זו? 27 אורך הצלע הקצרה של אחת המסגרות הוא . ג ס"מ, תתאים לסדרת המסגרות הנ"ל? נמקו. 60 ס"מ ו- 35 האם מסגרת, שממדיה .44 התשובה למשימת הפתיחה - בעמ׳

3 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © יחס בפרק זה יוצגו מצבים מחיי היום יום, בהם נעשה שימוש ביחס. נעסוק בהבנת המשמעות של היחס במצבים שונים, וכן נציג את היחס בהקשר האורייני - כולל מעבר מייצוג יחס באופן מילולי לייצוגו באופן סימבולי, או להפך. בחלק מהמקרים תידרש המרת יחידות. .45-44 התשובות לתרגילים בפרק זה – בעמ' תזכורת • הוא המנה (תוצאת החילוק) של שני מספרים (גדלים או כמויות) חיוביים, ומשמש להשוואה יחס בין שני הגדלים. • ניתן להציג את היחס בשני אופנים: בקו שבר או בסימן החילוק. למשל: .4:6 או בסימן חילוק 4 6 בקו שבר 6 ל- 4 ניתן להציג את היחס בין המספרים .2:3 או 4 6 2 3 = :כשבר מצומצםאם אפשר, מקובל לרשום את היחס • ."3 ל- 2 קוראים משמאל לימין: " 2:3 יחס קוראים משמאל לימין. למשל: את היחס דוגמה פתורה – יחס בין מספרים ק"מ מהכביש עברו שיפוץ. 50 ק"מ. 200 אורך כביש הוא . א מהו היחס בין החלק ששופץ בכביש לחלק שלא שופץ? . ב .1:2 בכביש אחר היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ הוא באיזה כביש היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ גדול יותר? פתרון: . א .(200 – 50 = 150) ק"מ לא שופצו 150 ק"מ מהכביש עברו שיפוץ. לכן 50 ק"מ, 200 אורך הכביש הוא . 1 3 , ולאחר צמצום 50 150 ק"מ) הוא 150 ק"מ) לחלק שלא שופץ ( 50 היחס בין החלק ששופץ ( .1:3 ניתן לרשום את היחס גם בסימן חילוק .1:3 תשובה: היחס בין החלק ששופץ בכביש לחלק שלא שופץ הוא . ב כדי להשוות יחסים יש להעביר אותם לכתיב בקו שבר או בשבר עשרוני. . 1 2 , בכביש השני היחס הוא 1 3 בכביש הראשון היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ הוא

4 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © , ולכן היחס גדול יותר בכביש השני. 1 2 1 3 > .0.5 > 0.333 ניתן גם להמיר את השברים לשבר עשרוני, מה שלעיתים יקל על ההשוואה. במקרה זה: תשובה: בכביש השני היחס בין החלק ששופץ לחלק שלא שופץ גדול יותר. הערות: • . צמצום והרחבה של יחס אינם משנים את ערכו, אלא רק את צורת הופעתו.כשבר מצומצםמקובל להציג יחס • יחס יכול לתאר אינסוף זוגות של מספרים, שהיחס ביניהם צומצם. מ'. הוא יכול לתאר את האורכים 9 מ' ו- 2 בין אורכים אינו בהכרח מתאר את האורכים 2:9 למשל: יחס מ' וכו'. 18 מ' ו- 4 מ' או את האורכים 90 מ' ו- 20 • .שני גדלים שווים מציין יחס בין 1:1 יחס • .באותן יחידות מידהנחשב יחס בין שני גדלים כאשר הם מופיעים . 1 תנו דוגמה מחיי היום יום, שבה נעשה שימוש ביחס. . 2 לפניכם תמונה שנוצרה במחשב בתוך מסגרת מלבנית. כאשר לוחצים בעכבר על התמונה, ריבועים, 8 מעגלים או 8 מופיעים סביב התמונה ועל-ידי גרירה שלהם ניתן לשנות את גודל התמונה. תמונות א׳-ג׳: 3 לפניכם באילו תמונות ניתן לראות שלא נשמר היחס המקורי בין אורך התמונה לבין רוחבה? . א . ב . ג

5 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 3 .4:3 התמונה במסך מחשב מוצגת בצורה הטובה ביותר כאשר היא מופיעה ביחס של כל יחס אחר גורם לתמונה להיראות צרה יותר ו/או נמוכה יותר. > 4:3 א 4:3 ב < 4:3 ג . א מה המשמעות של המידע המוצג כאן? . ב תנו דוגמאות למידות אפשריות לכל אחד משלושת המצבים. . 4 מגן דוד מורכב רק ממשולשים שווי-צלעות. שני המשולשים הגדולים זהים, וגם ששת המשולשים הקטנים זהים. . א מה היחס בין אורך צלע המשולש הקטן לאורך צלע המשולש הגדול? . ב מה היחס בין אורך צלע המשולש הגדול לאורך צלע המשולש הקטן? . 5 לפניכם מְמַדִים של ארבעה מגרשים מלבניים (ראו מידות בסרטוט): 1 8 מ׳ מ׳ 36 I II מ׳ 23 1 5 מ׳ IV מ׳ 22 1 1 מ׳ III מ׳ 16 1 6 מ׳ . א לאילו מגרשים מתאים המשפט הבא: מהמֵמַד הקצר. 2 המֵמַד הארוך גדול פי . ב מצאו את היחס בין המֵמַד הקצר למֵמַד הארוך בכל אחד מהמגרשים.

6 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 6 קיים תקן עולמי לגודל של דפי נייר. תקן זה נקבע .1975 בשנת .A5 ,A4 ,A3 ,A0 הדפים מכונים בשמות, כגון: לפניכם סרטוט של ממדי הניירות מסוגים שונים על פי תקן זה (הנתונים במילימטרים). . א מצאו את ממדי כל אחד מסוגי הנייר: (רשמו תשובתכם A5 , A4 , A3 , A0 במילימטרים). . ב חשבו את היחס בין הצלע הארוכה לצלע הקצרה בכל אחד מסוגי הנייר: .A5 ,A4 ,A3 ,A0 מה גיליתם? . ג A4 מצאו את היחס בין השטח של נייר .A3 לשטח של נייר . ד ?A0 נכנסים בנייר A3 כמה ניירות (הדרכה: בסעיפים ג' ו- ד' היעזרו בסרטוט, וענו בלי למצוא את שטח דפי הנייר.) . 7 טריאתלון הוא ענף ספורט אולימפי המשלב שלושה ענפי ספורט: שחייה, רכיבה על אופניים וריצה. .4:1 היחס בין אורך החלק של הרכיבה על אופניים לבין אורך החלק של הריצה הוא . א איזה חלק ארוך יותר: מסלול הרכיבה על האופניים או מסלול הריצה? . ב ק"מ, ואורך החלק של הרכיבה על 2 אורך החלק של הריצה הוא 13-12 בטריאתלון מקוצר לילדים בני ק"מ. האם בטריאתלון המקוצר היחס בין אורך מסלול הרכיבה לבין אורך מסלול הריצה 8 אופניים הוא שווה ליחס המופיע בשאלה? A4 A3 A2 A1 A0 A5 A7 A6 A8 420 210 105 52 841 594 297 148 74 1189

7 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 8 בשני תכשיטים שובצו שתי אבני חן: האחת בצורת ריבוע והשנייה בצורת מעוין. היחס בין אורך הצלע של האבן הריבועית לבין אורך הצלע של האבן שצורתה .1:1 מעוין הוא . א מהי המשמעות של היחס הזה? . ב מהו היחס בין היקף האבן הריבועית לבין היקף האבן שצורתה מעוין? (הדרכה: צלעות המעוין שוות.) . 9 מדד צפיפות בכבישים נמדד כיחס בין מספר המכוניות לבין אורך הכבישים (בק"מ). הנתונים הבאים הופיעו בפרסומי הלמ"ס (הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה). . א אלף ק"מ 120 אלף מכוניות, ונמדדו 191 נספרו בישראל 2018 בשנת כבישים. מה היתה הצפיפות בכבישים באותה שנה? . ב אלף ק"מ 121 אלף מכוניות, ונמדדו 197 נספרו בישראל 2019 בשנת כבישים. מה היתה הצפיפות בכבישים באותה שנה? . ג ?2019 או ב- 2018 באיזו שנה נמדדה צפיפות גדולה יותר בישראל: ב- . 10 בסרטוט מוצג מתחם מלבני לגידול ירקות בחצר הבית. . א מה אורכו בס"מ של הממד הקצר? ) ס"מ 100 = מ' 1 (הדרכה: . ב מה היחס בין אורכי הצלעות של המתחם המלבני? . ג האם היחס נשמר גם כאשר שני הממדים הם ביחידות של מ'? . ד תנו דוגמה נוספת למידות של מתחם מלבני, שהיחס בין שני ממדיו שווה ליחס בין שני ממדי המתחם המלבני הנתון. ס״מ 750 4. 5 מ׳

8 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 11 ס"מ. 160 ס"מ ו- 220 ממדיו התקניים של דגל ישראל הם , כחצי שנה לאחר הקמת מדינת ישראל. 1948 הממדים נקבעו על-ידי מועצת המדינה הזמנית בנובמבר . א מצאו את היחס בין אורכו לרוחבו של הדגל התקני של ישראל. לפניכם שלושה דגלי ישראל בממדים שונים: דגל א' ס״מ 99 7 2 ס״מ דגל ב' מ׳ 2.31 11 2 ס״מ דגל ג' . ב מצאו את היחס בין אורכו לרוחבו של כל אחד מן הדגלים. ס"מ) 100 = מ' 1 (הדרכה: . ג באיזה דגל היחס בין אורכו לרוחבו שווה ליחס בין אורכו לרוחבו של הדגל התקני? . ד מהיחס בין אורכו לרוחבו של הדגל התקני? גדולבאיזה דגל היחס בין אורכו לרוחבו (הדרכה: השוו בין היחסים כאשר הם כתובים בקו שבר או כשבר עשרוני.) . ה מהיחס בין אורכו לרוחבו של הדגל התקני? קטןבאיזה דגל היחס בין אורכו לרוחבו . 12 לפניכם סרטוט של שלוש רשתות הצללה משולשות (הנתונים במ'). ( 1) משולש שווה-שוקיים 4 3 ( 2) משולש שווה-צלעות 6 ( 3) משולש שונה-צלעות 4 3 6 . א מצאו את אורכי צלעות המשולשים ואת הגובה במשולש ב'. (הדרכה: היעזרו בתכונות של הגובה לבסיס במשולש שווה-שוקיים ובמשפט פיתגורס.) . ב מצאו את היקפי המשולשים. סכום אורכי צלעותיו.) = היקף משולש(הדרכה: . ג מה היחס בין היקף משולש ב' להיקף משולש א'? . ד ?2:3 בין אילו שני משולשים היחס בין שטחיהם הוא מחצית מכפלת צלע בגובה לצלע זו.) = שטח משולש(הדרכה: ס״מ 216 19 8 ס״מ

9 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © הידעתם? ) היא יחידת מידע גרפית (נקודת צבע), המתארת נקודה בתמונה דיגיטלית. תמונה ממוצעת pixel( פיקסל מורכבת ממיליוני פיקסלים. הרזולוציה קובעת את רמת הפירוט של התמונה על המסך, והיא נמדדת במספר .)ppi הפיקסלים לאינץ' ( ככל שתמונה מורכבת מכמות גדולה יותר של פיקסלים לאינץ', פרטים רבים יותר ייקלטו/ייראו בתמונה והיא תיחשב לבעלת רזולוציה גבוהה יותר. . 13 .16:9 , שצורתו מלבן, הוא 4K היחס בין ממדיו של מסך .8,294,400 הוא 4K ידוע שמספר הפיקסלים במסך אפשרויות המתארות את סידור הפיקסלים על גבי המסך. 3 לפניכם . א 3856 × 2169 . ב 3840 × 2160 . ג 5760 × 1440 ?4K איזו מבין האפשרויות היא המייצגת בקירוב הטוב ביותר את כמות הפיקסלים שבמסך ה- (הדרכה: התייחסו ליחס בין ממדי המסך וגם למספר הכולל של הפיקסלים.) . 14 להלן מוצגים ממדים של תמונות שהועלו במחשב. תמונה א' תמונה ב' תמונה ג' אורך פיקסלים 851 פיקסלים 160 פיקסלים 111 רוחב פיקסלים 315 פיקסלים 160 פיקסלים 74 . א בכל אחת מהתמונות מצאו את היחס בין הרוחב לאורך. (1) ( 2) מה המשמעות של היחס שהתקבל בתמונה ב'? ( 3) קבעו היכן היחס בין הרוחב לאורך הוא הגדול ביותר. . ב מצאו את היחס בין רוחב תמונה ב' לבין רוחב תמונה ג'. דוגמה פתורה – חלוקה ביחס נתון נגדיר: היא פיצול של גודל ידוע לשני גדלים, שהיחס ביניהם שווה ליחס הנתון. חלוקה ביחס נתון למשל: .3:5 קטעים שהיחס ביניהם 2 ק"מ חולק ל- 16 מסלול שאורכו . 6 10 3 5 = ק"מ, והיחס ביניהם הוא 10 ק"מ ו- 6 הקטעים הם

10 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה לפניכם מְמַדִים של שלושה מגרשים שצורתם מלבן (ראו את המידות בסרטוט): ס״מ 2500 1 3 מ׳ מ׳ 30 1 5 מ׳ א׳ מ׳ 20 2 0 מ׳ ב׳ ג׳ . א מצאו את היחס בין המֵמַד הקצר למֵמַד הארוך של כל מגרש. . ב .3:7 במגרש רביעי, שצורתו מלבן, היחס בין המֵמַד הקצר למֵמַד הארוך הוא מ'. מצאו את מְמַדֵי המגרש. 500 היקף המגרש הוא . ג .4:5 במגרש נוסף, שצורתו מלבן, היחס בין המֵמַד הקצר למֵמַד הארוך הוא מ"ר. מצאו את מְמַדֵי המגרש. 980 שטח המגרש הוא פתרון: . א . 15 1 30 2 = מ') הוא: 30 מ') לממד הארוך ( 15 • מגרש א': היחס בין הממד הקצר ( .1:2 ניתן לרשום את היחס גם באופן הבא • מ'), כלומר אין ממד קצר וממד ארוך. 20 מגרש ב': שני הממדים שווים באורכם ( .1:1 . ניתן לרשום את היחס גם באופן הבא 20 20 1 1 = היחס ביניהם הוא: • מגרש ג': האורכים מוצגים ביחידות מידה שונות. לפני שמציגים את היחס בין הממדים יש לדאוג ס"מ 100 = מ' 1 מ'. 25 ס"מ ושווה ל- 2500 . הממד הארוך הוא ליחידות מידה אחידות .13:25 , או בדרך הבאה: 13 25 מ') הוא: 25 מ') לממד הארוך ( 13 היחס בין הממד הקצר ( , ובמגרש ג' 1:1 , במגרש ב' הוא 1:2 תשובה: היחס בין הממד הקצר לממד הארוך במגרש א' הוא .13:25 הוא . ב אורכי צלעות המלבן. b ו- a , 2(a + b) = היקף מלבן נזכיר: מ'. מחצית מהיקף המגרש הוא סכום שתי 500 . היקף המגרש 3:7 היחס בין המֵמַד הקצר למֵמַד הארוך הוא מ'. 250 הצלעות הסמוכות, כלומר סכום הממד הקצר והממד הארוך הוא .חלוקה ביחס נתון. פעולה זו נקראת 3:7 מ' ביחס של 250 עלינו לחלק את האורך דרך א' – עם נעלמים . 3 7 x x שווה ליחס 3 7 כידוע, צמצום והרחבה של שבר אינם משנים את ערכו. לכן היחס .גורם ההגדלה/ההקטנה), הנקרא גם 0 (השונה מ- x כפלנו את המונה והמכנה באותו מספר .7x , ולאורכו של הממד הארוך כ- 3x נתייחס לאורכו של הממד הקצר כ-

11 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © מ'. נפתור את המשוואה הבאה: 250 מצאנו שסכום שני הממדים הוא 3x + 7x = 250 10x = 250 /:10 x = 25 .גורם ההגדלה. לכן הוא נקרא 1 , והוא גדול מ- 25 הוא x ערכו של .3x = 3 ∙ 25 = מ׳ 75 :אורכו של הממד הקצר הוא .7x = 7 ∙ 25 = מ׳ 175 :אורכו של הממד הארוך הוא דרך ב' – ללא נעלמים . נחשב את אורכו של כל אחד מהממדים: 3 + 7 = 10 :בדרך זו נחבר את שני מרכיבי היחס . 3 10 250 ⋅ = מ׳ 75 : מ', לכן אורכו של הממד הקצר הוא 250 מ- 3 10 הממד הקצר מהווה . 7 10 250 ⋅ = מ׳ 175 : מ', לכן אורכו של הממד הארוך הוא 250 מ- 7 10 הממד הארוך מהווה מ'. 175 מ' ו- 75 :תשובה: ממדי המגרש הם . ג אורכי צלעות המלבן. b ו- a , a ∙ b = שטח מלבן :נזכיר מ"ר. 980 . שטח המגרש 4:5 במגרש נוסף היחס בין המֵמַד הקצר למֵמַד הארוך הוא . 4 5 t t שווה ליחס 4 5 :)0 (השונה מ- t נכפול את המונה והמכנה של היחס באותו מספר .5t , ואת אורכו של הממד הארוך ב- 4t נסמן את אורכו של הממד הקצר ב- : מ"ר, ולכן 980 השטח הוא 4t ∙ 5t = 980 20t2 = 980 / : 20 t2 = 49 (הפתרון השלילי נפסל, כי אורך צלע חייב להיות חיובי.) t = 7 :, ולכן 7 מצאנו שגורם ההגדלה הוא .4t = 4 ∙ 7 = מ' 28 :אורכו של הממד הקצר הוא .5t = 5 ∙ 7 = מ' 35 :אורכו של הממד הארוך הוא (הערה: ניתן לחשב את ממדי המגרש ללא שימוש בנעלם כפי שהוצג בסעיף ב'.) מ'. 35 מ' ו- 28 תשובה: ממדי המגרש הם הערות: :) מתקיים 0 (השונה מ- x כאשר כופלים את המונה והמכנה של היחס ב- • .גורם ההגדלה הוא x , אזי x > 1 אם • .גורם ההקטנה הוא x , אזי 0 < x < 1 אם

12 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 15 ק"מ, חלקו כביש אספלט וחלקו כביש עפר. 35 אורך מסלול ריצה הוא .2:3 היחס בין אורך כביש האספלט לאורך כביש העפר הוא מה אורכו של כביש האספלט, ומה אורכו של כביש העפר? ), ופתרו משוואה מתאימה.) 0 (השונה מ- x (הדרכה: כפלו את המונה והמכנה של היחס ב- . 16 מ' בגינה של משפחת יעקב. 7 גנן התקין צינור השקיה שאורכו חלק אחד מצינור ההשקיה מיועד לחיבור בין הממטרות, וחלקו האחר להתקנת .9:5 טפטפות. היחס בין אורך החלק המחבר בין הממטרות לבין אורך החלק המיועד לטפטפות הוא מה אורכו של כל אחד מחלקי הצינור? . 17 מ', בדרך סלולה ובשביל עפר. 720 נויה צועדת מביתה לבית הספר, מרחק של .7:2 היחס בין אורך הדרך הסלולה לאורך שביל העפר הוא . א מצאו את אורך הדרך הסלולה ואת אורך שביל העפר. דנה צועדת מביתה לבית הספר בדרך סלולה אחרת ובאותו שביל עפר, שבו צועדת נויה. מ'. 200 אורך הדרך הסלולה, שבה צועדת דנה מביתה לבית הספר, הוא . ב מהו היחס בין אורך הדרך הסלולה לבין אורך דרך העפר, שבה צועדת דנה? . 18 כדורשער הוא משחק, המיועד לשחקנים בדרגות שונות של לקות ראייה (כולל עיוורון .2:1 מלא). מגרש הכדורשער הוא בצורת מלבן. היחס בין צלעות המלבן הוא . א השלימו את המשפטים הבאים: ( 1) מהאורך של הצלע הקצרה. האורך של הצלע הארוכה של המגרש גדול פי ( 2) . של המגרש הוא מחצית מהאורך של הצלע האורך של הצלע מ'. 54 היקף המגרש הוא . ב מצאו את ממדי המגרש. . ג מצאו את שטח המגרש. אספלט עפר החלק לממטרות החלק לטפטפות הבית של דנה הבית של נויה שביל עפר בית הספר

13 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 19 .2:3 ס"מ. היחס בין צלעותיו הוא 400 היקף שולחן מלבני הוא . א מהם ממדי השולחן? . ב מצאו את שטחו. . 20 לוח כתיבה מחיק, שצורתו מלבן, מוקף במסגרת אלומיניום. מ"ר. 6.75 , ושטחו הוא 1:3 היחס בין אורכי צלעותיו הוא . א מצאו את אורכי ממדי הלוח. . ב חשבו את אורך פס האלומיניום הדרוש ללוח זה. . 21 פארק עירוני הוא בצורת דלתון. מ', 300 הוא C ל- A- אורך מסלול ההליכה מ מ'. 180 הוא D ל- B- אורך מסלול ההליכה מ . א .OC מאורך הקטע 3 קטן פי AO אורך הקטע ( 1) ?OC לאורך AO מה היחס בין אורך ( 2) ?OC ושל AO מה אורכם של . ב ?OB לאורך AO מה היחס בין אורך (הדרכה: האלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו, ).BO = DO כלומר: . ג ?∆ABC לבין שטח המשולש ∆ADC מה היחס בין שטח המשולש (1) ( 2) ?∆DBC לבין שטח המשולש ∆ADB מה היחס בין שטח המשולש . 22 בסרטוט מתחם ציבורי שצורתו ריבוע, ובתוכו ערוגת פרחים שגם צורתה ריבוע. .7:2 היחס בין אורך צלע המתחם הציבורי לאורך צלע ערוגת הפרחים הוא . א מה המשמעות של היחס הנתון? . ב האם ניתן לקבוע על פי הנתונים את השטח של המתחם הציבורי? אם כן, מצאו אותו. אם לא, קבעו נתון לגבי אורך צלע ערוגת הפרחים. מצאו את אורך צלע המתחם הציבורי. . ג מצאו את שטח המתחם הציבורי (כולל שטח ערוגת הפרחים) , בהתאם לנתון שקבעתם בסעיף ב'. A C B D O

14 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה פתורה – יחס בין שלושה מספרים .2:3:4 היחס בין שלוש הזוויות באריח שצורתו משולש הוא מצאו את זוויות המשולש. פתרון: .180° סכום הזויות במשולש הוא .2:3:4 היחס בין שלוש הזוויות באריח שצורתו משולש הוא: נפתור את השאלה בשתי דרכים: דרך א' – שימוש בנעלם .)0 (השונה מ- x נכפול כל אחד מהמספרים שמופיעים ביחס ב- .2x, 3x, 4x הביטויים האלגבריים המתאימים לזוויות הם: נפתור את המשוואה הבאה: 2x + 3x + 4x = 180° 9x = 180° /:9 x = 20° לכן מתקיים: .2x = 2 ∙ 20 = 40° גודלה של הזווית הקטנה הוא: .3x = 3 ∙ 20 = 60° גודלה של הזווית הבינונית הוא: .4x = 4 ∙ 20 = 80° גודלה של הזווית הגדולה הוא: דרך ב' – ללא נעלם • , 2 2 3 4 2 9 + + = היחס בין הזווית הקטנה לבין סכום שלוש הזוויות הוא: . 2 9 180 40 0 0 ⋅ = :180° מתוך 2 9 כלומר גודלה של הזווית הקטנה מהווה • , 3 2 3 4 3 9 + + = היחס בין הזווית הבינונית לבין סכום שלוש הזוויות הוא: . 3 9 180 60 0 0 ⋅ = :180° מתוך 3 9 כלומר גודלה של הזווית הבינונית מהווה • ' 4 2 3 4 4 9 + + = היחס בין הזווית הגדולה לבין סכום שלוש הזוויות הוא: . 4 9 180 80 0 0 ⋅ = :180° מתוך 4 9 כלומר גודלה של הזווית הגדולה מהווה .180° − 40° − 60° = 80° ניתן לחשב את גודלה של זווית זו גם באמצעות התרגיל: .80° ,60° ,40° תשובה: גודלן של זוויות האריח שבצורת משולש: הערה: יחס, שבו מופיעים יותר משני מספרים, יוצג בסימן חילוק, ולא באמצעות קו שבר.

15 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 23 .1:2:3 היחס בין זוויותיו של משולש הצללה מבד הוא . א מצאו את זוויות המשולש. . ב מהו הסוג של המשולש שהתקבל? . 24 .4:5:6 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיה הוא 30 היקפה של פרוסת עוגה משולשת הוא מצאו את אורכי הצלעות של פרוסת העוגה. . 25 .7:24:25 ס"מ. היחס בין אורכי צלעותיו הוא 336 היקפו של חלון בצורת משולש הוא . א מצאו את אורכי הצלעות של החלון. . ב הסבירו מדוע החלון הוא בצורת משולש ישר-זווית. מהו אורך הצלע המונחת מול הזווית הישרה? . ג מצאו את שטח החלון. . 26 הילה צבעה פינה בחדרה באופן המתואר בסרטוט, ומתקיים היחס הבא: .AD:BD:DC = 1:2:3 . א את השטח של כל אחד x , ובטאו באמצעות AD = x סמנו מהמשולשים. מ"ר. 9 השטח הכולל של שני המשולשים הוא . ב .(BD) מצאו את גובה החדר מהפנל ועד לתקרה B A C D

16 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © דוגמה פתורה – צורות גיאומטריות מורכבות מ'. 20 × ' מ 30 ממדי גינה מלבנית הם הגינה מחולקת לגינת כלבים בצורת משולש ולמדשאה בצורת טרפז ישר-זווית. אחד מניצבי המשולש מונח על הצלע הקצרה של המלבן, כמתואר בסרטוט. .3:5 היחס בין שטח המשולש לבין שטח הטרפז הוא . א מצאו את שטח גינת הכלבים ואת שטח המדשאה. . ב מצאו את אורכי צלעות המשולש. . ג מסביב לגינת הכלבים הקימו גדר. מה אורכה של הגדר? פתרון: . א .20 ∙ 30 = מ״ר 600 שטח הגינה הוא . 3 5 מ"ר לשני שטחים ביחס של 600 נחלק את השטח .3x:5x שווה ליחס 3:5 ). היחס 0 (השונה מ- x נכפול את המונה והמכנה של היחס ב- , ולכן מתקיים: 5x , ושטח הטרפז הוא 3x מ״ר. שטח המשולש הוא 600 סכום השטחים הוא 3x + 5x = 600 8x = 600 /:8 x = 75 לכן: .3x = 3 ∙ 75 = מ״ר 225 שטח המשולש הוא: .5x = 5 ∙ 75 = מ״ר 375 שטח הטרפז הוא: הערה: ניתן לחשב חלוקת שטח ביחס נתון ללא נעלם, כפי שהוצג בדוגמה הקודמת. מ"ר. 375 מ"ר, ושטח המדשאה שבצורת טרפז הוא 225 תשובה: שטח גינת הכלבים המשולשת הוא . ב מ"ר. 225 מצאנו ששטח גינת הכלבים המשולשת הוא מ'. 20 אורכו של אחד מניצבי המשולש שווה לאורך הצלע הקצרה של הגינה, כלומר • מ׳ את אורך הניצב השני, ונציב בנוסחה של שטח משולש: a נסמן ב- 225 = 20 2 ⋅a /∙2 450 = 20a /:20 a = מ' 22.5 מ'. 22.5 מ' ו- 20 אורכי הניצבים במשולש ישר-הזווית הם מ׳ 30 מ׳ 20

17 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © • מ׳, ונחשב אותו לפי משפט פיתגורס: c נסמן את אורך היתר ב- a2 + b2 = c2 202 + 22.52 = c2 400 + 506.25 = c2 906.25 = c2 c = מ' 30.1 מ'. 30.1 מ', 22.5 מ', 20 תשובה: אורכי הצלעות של גינת הכלבים המשולשת הם: . ג הגדר מקיפה את גינת הכלבים. נחשב את היקף המשולש: P = 20 + 22.5 + 30.1 = מ' 72.6 מ'. 72.6 תשובה: אורך הגדר הוא . 27 מ', מעוניינים להתקין הצללה 12 × ' מ 6 ברחבה מלבנית שממדיה הם על חלק מהרחבה. . א מצאו את השטח של הרחבה המלבנית. .1:2 היחס הרצוי בין השטח המוצל לשטח שאינו מוצל הוא לפניכם שתי הצעות, שבהן היחס מתקיים. . ב מהם ממדי כל אחד מהשטחים המוצלים? . 28 ,ADE חולק לשלושה אזורים: בריכת ילדים ABCD מתחם בריכה מלבני .BKC ומלתחות ABKE בריכת מבוגרים .BC = מ' 20 ,AB = מ' 48 אורכי צלעות המתחם הם: .EK = מ' 12 נתון: .4:5 הוא KC לאורך DE היחס בין אורך . א .KC ו- DE מצאו את אורכי הקטעים . ב ? מצאו את שטח בריכת המבוגרים בשתי דרכים. ABKE מהו סוג המרובע שווה למחצית מכפלת גובה הטרפז בסכום הבסיסים.)שטח טרפז(הדרכה: א׳ מ׳ 12 6 מ׳ שטח לא מוצל שטח מוצל ב׳ מ׳ 12 6 מ׳ שטח מוצל שטח לא מוצל מלתחות בריכת מבוגרים בריכת ילדים B C A D E K

18 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 29 מ', נצבע בשני צבעים כמתואר בסרטוט. 3 קיר, שצורתו ריבוע ואורך צלעו . א מצאו את שטח הקיר הריבועי. .1:5 היחס בין שטח המשולש לבין שטח הטרפז הוא . ב מצאו את שטח המשולש ואת שטח הטרפז. . ג מצאו את אורכי צלעות המשולש. . ד מצאו את אורכי צלעות הטרפז. . 30 מ', מחולקת לגינת תבלינים משולשת ולטרפז, 20 גינה ריבועית, שצלעה שבו שתולים עצי פרי, כמתואר בסרטוט. .3:7 היחס בין שטח גינת התבלינים לשטח עצי הפרי הוא . א מצאו את השטח של גינת התבלינים ואת השטח של מתחם עצי הפרי. . ב מצאו את ההיקף של גינת התבלינים ואת ההיקף של מתחם עצי הפרי. . 31 מ', תפרו עיגול בצבע אחר. 2 במרכזה של מפה עגולה, שרדיוסה .3:8 היחס בין רדיוס העיגול הפנימי לרדיוס המפה הוא . א מהו רדיוס העיגול הפנימי? . ב מה היחס בין היקף המפה לבין הקוטר שלה? כיצד נקרא יחס זה? . ג מה היחס בין היקף המעגל הפנימי להיקף המפה? ).π = 3.14 , 2πR הוא R שרדיוסו היקף מעגל(הדרכה: . ד מהו היחס בין שטח העיגול הפנימי לשטח המפה? ).π = 3.14 , πR2 הוא R שרדיוסו שטח עיגול(הדרכה: עצי פרי תבלינים

19 כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה י״א - אשכול התמצאות במישור ובמרחב - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . 32 במרכז כיכר עגולה בנו מזרקה בצורת עיגול. .5:3 היחס בין רדיוס הכיכר לרדיוס המזרקה הוא . א מה המשמעות של היחס הנתון? . ב האם ניתן לחשב מנתונים אלה את שטח הכיכר? אם כן, חשבו אותו. אם לא הסבירו. מטר. 9 נתון: רדיוס המזרקה הוא . ג מהו רדיוס הכיכר? . ד מצאו את היחס בין שטח הכיכר לשטח המזרקה. . 33 קבלן רוצה לקנות חלקת אדמה. התנאי שלו, שהיחס בין השטח המיועד למגורים לבין השטח הירוק הקיים כיום .1:3 יהיה מ'. 40 הצעות, שבהן שטח החלקה הוא בצורת ריבוע שאורך צלעו 3 לקבלן הוצעו בכל הצעה יש שטח המיועד למגורים (השטח הלבן) ושטח ירוק. 1 הצעה 20 20 20 החלקה הריבועית מחולקת ריבועים חופפים. 4 ל- 2 הצעה 30 10 החלקה הריבועית מחולקת לשני מלבנים. 3 הצעה 30 10 החלקה הריבועית מחולקת משולשים. 3 לאילו הצעות עונות על התנאי שהציב? נמקו.

www.mathstar.co.il

Made with FlippingBook

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=