מתמטיקה לכיתה ז' חלק א'

הקדמה ואושר על ידי מתאים לתוכנית הלימודים החדשה,הספר "מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – סדרת צמרת" אוכלוסיית תלמידי כיתות ז'. לכללמשרד החינוך כספר לימוד תוכנית הלימודים החדשה של משרד החינוך לכיתות ז' מחולקת לשלושה סבבים. כל אחד מהסבבים הללו מחולק לשלושה תחומים: תחום אלגברי, תחום מספרי ותחום גיאומטרי. ומכיל את כל אחד מתוך שלושה כרכים בסדרה "מתמטיקה לכיתה ז' – חלק א' – סדרת צמרת" הוא החומר הנדרש בסבב הראשון של תוכנית הלימודים: – משתנים, ביטויים אלגבריים והכללה של תופעות מספריות. תחום אלגברי – פעולות החשבון וחוקיהן, חזקות ושורשים ריבועיים. תחום מספרי – מלבן, תיבה, ניצבות והקבלה. תחום גיאומטרי מה מיוחד בספר? • כל פרק מתחיל עם הסבר קצר וברור, ועם תרגילי "מפתח". תרגילי ה"מפתח" נלמדים בכיתה ומהווים כלי עזר מצוין למורה לצורך הסבר החומר. • בסיום כל פרק מופיע סיכום המרכז את החומר הנלמד בפרק. • בכל פרק משולבים בין התרגילים, תזכורות, דוגמאות פתורות, הסברים והערות, כדי לאפשר הוראה יעילה ונוחה. • וכולל בתוכו מספר רב של שאלות, המדורגות ברמות קושי שונות, לכל רמות הלימוד הספר מתאים והמאפשרות לכל התלמידים להתמודד עמן ברמות שונות של עומק. • בנוסף מופיעים תרגילים ברמת קושי גבוהה, המסומנים בסימון * או **, ומיועדים לתלמידים מתקדמים. • התשובות המצורפות לתרגילים הן גם "מסבירי דרך" (ברוב המקרים) ולא רק תשובות סופיות. מדריך למורה הספר מלווה במדריך למורה, ובו, בנוסף לרציונל הפדגוגי, מופיעים פתרונות מפורטים של חלק מהשאלות והצעות לדרכי הוראה והמחשה. חומרי עזר .www.mathstar.co.il , מלווים בדפי עזר ב-▼סרטוטים שלידם מופיע סימן של משולש אפור תמיכה בבתי הספר בתי ספר אשר ילמדו לפי ספר זה, יקבלו ליווי והדרכה. תודתנו נתונה לונסה זיימן ורווית דוידוב שקראו את הספר, העירו והאירו. הרבה תודה ואהבה על התמיכה והסבלנות נתונות למשפחותינו: בני זוגנו קרינה ואיתן, וילדינו גבי, עידן, דניאל, מעין ונירם. תקוותנו שספר זה יסייע למורים בעבודתם ויוביל את התלמידים להצלחה. יצחק שלו & אתי עוזרי

תוכן העניינים המשתנה 1............................................................................................................ משתנים וביטויים אלגבריים 26. ............................................................................................... הצבת מספרים בביטויים אלגבריים 40. ........................................................................ שוויון בין ביטויים אלגבריים וכינוס איברים דומים 67. ...................................................................................................................................... תשובות סדר פעולות החשבון וחוקי פעולות החשבון 80. .................................................................................................. ) כללי סדר פעולות החשבון (חזרה 83. ...................................................................................................... חוק הקיבוץ של פעולת החיבור 88. ......................................................................................................... חוק הקיבוץ של פעולת הכפל 94. ................................................................................................................................. חוק הפילוג 106................................................................................................................ חיסור של סכום והפרש 113..................................................................................................... הכפלת המחלק וחילוק המחלק 121................................................................................................................. חזקות עם מעריך טבעי 129............................................................................................................................... שורש ריבועי 140...................................................................................................................................... תשובות גיאומטריה 150........................................................................................... זווית ישרה, ניצבות של ישרים וקטעים 165................................................................................................................................. בונים מלבן 174......................................................................................................... מקבילות של ישרים וקטעים 181......................................................................................................................... המלבן ואלכסוניו 184..................................................................................................................... מלבן מיוחד - ריבוע 187...................................................................................................................................... תשובות 194.................................................................................................................... היקף ושטח של מלבן 205................................................................................................................... היקף ושטח של ריבוע 210................................................................................................... תיבה, קובייה ושטח הפנים שלהן 219.................................................................................................................. נפח של תיבה וקובייה 232...................................................................................................................................... תשובות נספחים 240................................................................................................ נספח א' - היקפים, שטחים ונפחים 241................................................................................................................. נספח ב' - המרת מידות

-1כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © המשתנה משתנים וביטויים אלגבריים שקלים.7 מחיר ק"ג תפוזים הוא . א ק"ג תפוזים?2 מהי העלות של . ב ק"ג תפוזים?3 מהי העלות של . ג ק"ג תפוזים?10 מהי העלות של . ד ק"ג תפוזים?50 מהי העלות של . ה ק"ג תפוזים? a מהי העלות של הסבר: . א ק"ג תפוזים יש לבצע את2 שקלים, לכן למציאת העלות של7 ק"ג של תפוזים עולה1היות ש- .2 × 7 , או אחרת:7+7 החישוב הבא: ק"ג תפוזים כאשר2 , לכן ניתן לרשום את המחיר של2 × 7 = 7 × 2 בהתאם לחוק החילוף בכפל: .7 × 2 שקלים גם כך:7 המחיר לק"ג הוא שקלים.14 ק"ג תפוזים היא2 כלומר העלות של . ב . 7 × 3 או3 × 7 , או אחרת:7 + 7 + 7 ק"ג תפוזים יש לבצע את החישוב הבא:3 למציאת העלות של שקלים. 21 ק"ג תפוזים היא3 כלומר העלות של . ג .7 × 10 או 10 × 7 ק"ג תפוזים בצורה נוחה יותר כך:10 ניתן לחשב את העלות של שקלים.70 ק"ג תפוזים היא10 כלומר העלות של . ד .7 × 50 או50 × 7 ק"ג תפוזים נבצע את החישוב הבא:50 למציאת העלות של שקלים.350 ק"ג תפוזים הוא50 כלומר המחיר של . ה ק"ג תפוזים?". בסעיפים הקודמים היו מפורטים a הגיע הזמן לענות על השאלה "מהי העלות של ק"ג. 50 ק"ג ו-10 ק"ג,3 ק"ג,2 כמויות התפוזים בק"ג: ק"ג תפוזים? a מהי המשמעות של נתבונן על תהליך החישוב של הסעיפים הקודמים: 7 × 2 או אחרת: 2 × 7 7 × 3 3 × 7 7 × 10 10 × 7 7 × 50 50 × 7 אנו רואים שיש חוקיות בחישובים הללו: כדי לחשב את העלות של כמות מסוימת של תפוזים יש להכפיל את המחיר של ק"ג אחד של תפוזים בכמות התפוזים (בק"ג): כמות התפוזים × 7

-2כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ק"ג תפוזים? a אז מהי המשמעות של a × 7 ככמות כלשהי של תפוזים (בק"ג), ולכן ניתן לרשום את עלותו כך: a - במקרה זה אפשר להתייחס ל .7 × a או בהתאם לחוק החילוף בכפל: מאפשר חישוב העלות7 × a או a × 7 ככמות כלשהי של תפוזים, הביטוי a - כלומר, אם נתייחס ל של כמות כלשהי של תפוזים. לדוגמה: ק"ג תפוזים. העלות תהיה: 15 , פירושו שאנו מתבקשים לחשב את העלות שלa = 15 אם שקלים. 105 , כלומר 15 × 7 = 7 × 15 = 105 ק"ג תפוזים. העלות תהיה:45 , אזי אנו מתבקשים לחשב את העלות שלa = 45 אם שקלים.315 , כלומר 45 × 7 = 7 × 45 = 315 , וכך נוכל לדעתa יכול להשתנות בהתאם לערכו של a × 7 או7 × a מכאן ניתן להסיק כי ערכו של הביטוי ק"ג תפוזים. a את העלות של ה. ֶ נ ַ שת ִ כמ משמשת a במקרה זה אומרים שהאות ה הוא סימן שמייצג ערך מספרי, שניתן לקביעה ולשינוי על-פי הצורך. ֶ נ ַ שת ִ מ וכו'. a, b, x, y, n : לצורך סימון משתנים מקובל להשתמש באותיות הלועזיות - למשל הערה: שבנינו לצורך חישוב העלויות של כמות התפוזים בק"ג נקרא "ביטוי אלגברי". a × 7 או 7 × a הביטוי ביטוי אלגברי הוא צירוף של מספרים ומשתנים הקשורים ביניהם בפעולות מתמטיות. ביטוי יכול להכיל משתנים; וכאשר הם מקבלים ערכים מספריים מתאימים, מקבל הביטוי כולו ערך מספרי. הערה: ביטוי אלגברי יכול להיות גם מספר ללא משתנים, וכן מספרים הקשורים ביניהם בפעולות מתמטיות. במקרה זה קוראים לביטוי "ביטוי חשבוני", והוא מקרה פרטי של ביטויים אלגבריים. נחשב לביטוי אלגברי. 7 בהתאם להערה: המספר , כגון:ביטויים אלגבריים גם הביטויים, שהשתמשנו בהם לצורך חישובים, נקראים וכו'. 7 + 7, 2 × 7 ,7 × 3 ,10 × 7 , והם מקרים פרטיים של ביטויים אלגבריים.ביטויים חשבוניים לביטויים הללו קוראים גם לביטויים אלגבריים יש משמעות רבה בהמשך הלימודים. מה נלמד? ✔ ✔ נכיר את המושג משתנה ואת המושג ביטוי אלגברי. ✔ ✔ נלמד להשתמש במשתנים לצורך בניית ביטויים אלגבריים, המתארים מצבים נתונים וחוקיות.

-3כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © על מה נחזור? ✔✔ נחזור על חוקי פעולות החשבון ועל סדר פעולות החשבון שנלמדו בשנים קודמות: • חוק החילוף של חיבור וכפל. • כללי סדר פעולות החשבון. לדרך... תרגילים )72-67 (התשובות לתרגילים בפרק זה - בעמ' 11 . פתרו את התרגילים הבאים: תלמידים.25 בשיעור הראשון היו בכיתה .Ⅰ . א כמה תלמידים יהיו בכיתה בשיעור השני, אם לשיעור זה הצטרפו: תלמידים?9 )3( ? תלמידים7 )2( ? תלמידים4 )1( . ב כיצד הייתם רושמים את מספר התלמידים שיהיו בכיתה בשיעור השני, אם לשיעור זה תלמידים? x הצטרפו שניים מבין הביטויים המוצגים לפניכם נכונים. בחרו אותם והסבירו מדוע הם מייצגים את אותה התשובה: x – 25 )4( x + 25 )3( 25 – x )2( 25 + x )1( שקיות חלב. במהלך היום נמכרות מספר שקיות חלב.45 בתחילת כל יום יש במכולת שכונתית . Ⅱ . א כמה שקיות חלב נותרו במכולת בסוף היום, אם במהלך היום נמכרו: שקיות חלב?43 )3( שקיות חלב?39 )2( שקיות חלב?32 )1( . ב כיצד הייתם רושמים את מספר השקיות שנותרו בסוף היום, אם במהלך היום נמכרו שקיות חלב? y אחד מבין הביטויים המוצגים לפניכם נכון. בחרו אותו והסבירו מדוע הביטויים האחרים אינם מייצגים את התשובה הנכונה: y + 45 )4( 45 – y )3( y – 45 )2( 45 + y )1( שקלים.12 מחיר מחברת בחנות הוא .Ⅲ . א כמה כסף ישלם גבי בקניית: מחברות?8 )3( ? מחברות5 )2( ? מחברות2 )1(

-4כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ב מחברות? a כיצד הייתם רושמים את סכום הכסף שישלם גבי עבור שניים מבין הביטויים המוצגים לפניכם נכונים. בחרו אותם והסבירו מדוע הם מייצגים את אותה התשובה: 12 × a )4( a + 12 )3( a × 12 )2( 12 + a )1( . ג מחברות, אם ידוע כי: a כמה כסף על גבי לשלם עבור ? a = 47 (3) ? a = 30 (2) ? a = 10 (1( במספר המתאים.) a את המספר המתאים, כלומר החליפו את a (הדרכה: הציבו בביטוי במקום מדבקות שווה בשווה בין הילדים שהגיעו לגן.40 כל יום מחלקת גננת . Ⅳ . א כמה מדבקות יקבל כל אחד מהילדים, אם לגן הגיעו: ילדים? 10 )3( ילדים? 5 )2( ילדים? 4 )1( . ב כיצד הייתם רושמים את מספר המדבקות שיקבל כל אחד מהילדים, ילדים? b אם לגן הגיעו אחד מבין הביטויים המוצגים לפניכם נכון. בחרו אותו והסבירו מדוע הביטויים האחרים אינם מייצגים את התשובה הנכונה: 40 : b )4( 40 – b )3( b : 40 )2( 40 × b )1( . ג ?b = 8 כמה מדבקות יקבל כל ילד, אם .ד * , ואיזה לא? b איזה מספר יכול להיות . סיכום התרגיל Ⅴ העתיקו למחברתכם והשלימו: מה למדנו? ) האותיות יכולות לייצג מספרים. 1( למשל: בתרגיל זה השתמשנו לשם כך באותיות: x , __________ , __________ , __________ לאותיות הללו קוראים משתנים. ) בתרגיל הוצגו צירופים של מספרים ומשתנים. 2( למשל: y – 45 , __________ , __________ , __________ לצירופים הללו קוראים ביטויים אלגבריים. משתנה הוא סימן שמייצג ערך מספרי, שניתן לקביעה ולשינוי על-פי הצורך. ביטוי אלגברי הוא צירוף של מספרים ומשתנים הקשורים ביניהם בפעולות מתמטיות.

-5כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 22 . פתרו את התרגילים הבאים: ימים על בסיס שכר יומי קבוע. 9 נגר עבד במשך . Ⅰ . א חשבו את הסכום שהשתכר הנגר תמורת עבודתו, אם השכר היומי שלו הוא: שקלים500 )3( שקלים300 )2( שקלים200 )1( . ב שניים מבין הביטויים האלגבריים הנתונים מייצגים את הסכום שקיבל הנגר תמורת עבודתו, שקלים.mאם השכר היומי שלו הוא בחרו את התשובות הנכונות (היעזרו בהערה שלמטה): 9 m )4( 9 × m )3( 9 · m )2( 9 : m )1( ימים. ההוצאה היומית של יואב בכל אחד מימי הטיול היתה קבועה. 5 יואב יצא לטיול בן . Ⅱ . א חשבו מהי ההוצאה היומית של יואב במהלך הטיול, אם ההוצאה הכוללת היתה: שקלים.340 )3( שקלים.750 )2( שקלים.500 )1( . ב שניים מבין הביטויים האלגבריים הנתונים מייצגים את ההוצאה היומית של יואב, אם שקלים. t ההוצאה הכוללת היתה בחרו את התשובות הנכונות (היעזרו בהדרכה שבסעיף הקודם). t : 5 )4( 5 · t )3( 5 t )2( t 5 )1( . ג . מהי ההוצאה היומית של יואב? t=שקלים400 ידוע כי על מה חזרנו? ) חוק החילוף קיים בחיבור ובכפל. 3( חוק החילוף אינו מתקיים בחיסור ובחילוק. .≠ או= השלימו בתוך העיגול את אחד מהסימנים: a + b b + a a : b b : a a – b b – a a × b b × a הערה: ." × שימו לב! בכתיבת המכפלה ניתן לרשום את הסימן " ·" במקום הסימן " 7 × a = 7·a , 5 × 4 = 5·4 למשל: = : a 7 a 7 , =3:5 3 5 תזכורת! קו השבר שקול לפעולת החילוק. למשל:

-6כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . סיכום התרגיל Ⅲ 3 3 . א. מה היקפו של משולש שווה-צלעות שאורך צלעו: ס"מ?7.2 )3( ס"מ?4.5 )2( ס"מ?5 )1( (הדרכה: תזכורת לגבי משולש שווה-צלעות ראו בנספח א' שבסוף הספר.) . ב ס"מ. a רשמו ביטוי אלגברי, שיבטא את היקפו של משולש שווה-צלעות שאורך צלעו . ג ?a = ס"מ 15 מהו היקפו של המשולש, אם 4 4 . א. מהו אורך צלעו של הריבוע, אם היקפו: ס"מ?25 )3( ס"מ?14 )2( ס"מ?28 )1( (הדרכה: תזכורת לגבי ריבוע ראו בנספח א' שבסוף הספר.) . ב ס"מ. a רשמו ביטוי אלגברי, שיבטא את אורך צלעו של הריבוע, אם ידוע שהיקפו . ג ?a = ס"מ60 מהו אורך צלע הריבוע, אם תזכורת : מבצעים פעולת חיבור. גדול ב- ✔ . המספר הנתון הוא:6 מהמספר3למשל: נתון מספר הגדול ב- : מבצעים פעולת חיסור. קטן ב- ✔ . המספר הנתון הוא:6 מהמספר3למשל: נתון מספר הקטן ב- : מבצעים פעולת כפל. גדול פי ✔ 6 · 3= 18 . המספר הנתון הוא:6 מהמספר3 למשל: נתון מספר הגדול פי : מבצעים פעולת חילוק. קטן פי ✔ . המספר הנתון הוא :6 מהמספר3 למשל: נתון מספר הקטן פי 6+ 3= 9 6 – 3= 3 6 :3= 2 העתיקו למחברתכם והשלימו: מה למדנו? ." × ) בכתיבת המכפלה של מספר במשתנה ניתן לרשום את הסימן " ·" במקום הסימן " 1( השלימו את החסר: 5 × y = 5 · y , 12 × a = , 0.4 × c = , 2.5 × k = על מה חזרנו? ) קו השבר שקול לפעולת החילוק. 2( , =a :5 a 5 b 20 = : , 40 c = : , a b = :

-7כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 5 5 . בנו ביטויים אלגבריים מתאימים. . א .12. המספר השני גדול ממנו ב- x המספר הראשון הוא בחרו את הביטויים המייצגים את המספר השני. x · 12 )4( 12 + x )3( x + 12 )2( 12 · x )1( . ב ממספר הספרים במדף הראשון.5ספרים. במדף השני מספר הספרים גדול ב- x במדף הראשון יש כמה ספרים יש במדף השני? . ג ממספר הכדורים בשק הראשון.1כדורים. בשק השני מספר הכדורים גדול ב- b בשק הראשון יש כמה כדורים יש בשק השני? 6 6 . בנו ביטויים אלגבריים מתאימים. . א .9. המספר השני קטן ממנו ב- x המספר הראשון הוא בחרו את הביטוי המייצג את המספר השני. x – 9 )4( x : 9 )3( 9 x )2( 9 – x )1( ממספר העובדים בחנות4עובדים. בחנות הסמוכה לה מספר העובדים קטן ב- x ב. בחנות אחת יש הראשונה. רשמו ביטוי אלגברי, המבטא את מספר העובדים בחנות זו. ממספר הבנות בכיתה5בנות. בכיתה השנייה מספר הבנות קטן ב- y ג. בכיתה הראשונה לומדות הראשונה. רשמו ביטוי אלגברי, המבטא את מספר הבנות בכיתה השנייה. 7 7 . בנו ביטויים אלגבריים מתאימים. . א מהמספר הראשון.10 . המספר השני גדול פי a המספר הראשון הוא אילו ביטויים מייצגים את המספר השני? a · 10 )4( 10 · a )3( a + 10 )2( 10 × a )1( . ב ממחירם2 שקלים. מחיר האופניים בחנות השנייה גדול פי b מחיר האופניים בחנות הראשונה הוא בחנות הראשונה. רשמו ביטוי אלגברי, המבטא את מחיר האופניים בחנות השנייה. . ג ממספרם בכפר3 . מספר התושבים בכפר השני גדול פי c מספר התושבים בכפר הראשון הוא הראשון. רשמו ביטוי אלגברי, המבטא את מספר התושבים בכפר השני. 8 8 . בנו ביטויים אלגבריים מתאימים. . א מהמספר הראשון.6 . המספר השני קטן פי x המספר הראשון הוא איזה ביטוי מייצג את המספר השני? 6 : x )4( x 6 )3( 6 – x )2( x – 6 )1( . ב ממספר הגולות של עידו.2 גולות. מספר הגולות של דניאל קטן פי y לעידו יש רשמו ביטוי אלגברי, המבטא את מספר הגולות של דניאל. . ג מהסכום שיש לתמר.3 שקלים. הסכום שיש לאתי קטן פי a לתמר רשמו ביטוי אלגברי, המבטא את סכום הכסף שיש לאתי.

-8כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © תזכורת מבצעים פעולת חיבור. סכום: ✔ למשל: (בהתאם לחוק החילוף בחיבור). b + a או a + b יירשם כך: bו- a סכום שני המספרים : מבצעים פעולת חיסור.הפרש ✔ למשל: a – b יירשם כך: b למספר a ההפרש בין המספר .b – a מכיוון שחוק החילוף אינו מתקיים בחיסור, לא ניתן לרשום .a למספר b היא: ההפרש בין המספרb – a המשמעות של הביטוי : מבצעים פעולת כפל.מכפלה ✔ למשל: (בהתאם לחוק החילוף בכפל). b · a או a · b תירשם כך:bו- a מכפלת המספרים : מבצעים פעולת חילוק.מנה ✔ למשל: . תירשם כך: אוb למספר a המנה בין המספר . b a מכיוון שחוק החילוף אינו מתקיים בחילוק, לא ניתן לרשום .a למספר b היא: המנה בין המספר b a המשמעות של הביטוי (a : b) a b (a : b) a b 9 9 . . בחרו את הביטויים המייצגים את:4. המספר האחר גדול ממנו ב- a מספר אחד הוא . א המספר האחר. a · 4 )4( 4 + a )3( 4 · a )2( a + 4 )1( . ב סכום שני המספרים. a – (a + 4) )4( a · (a + 4) )3( (a + 4) + a )2( a + (a + 4) )1( . ג מכפלת שני המספרים. (4 + a) · a )4( (a + 4) · a )3( a + (a + 4) )2( a · (a + 4) )1( . ד המנה של המספר הקטן במספר הגדול. (a + 4) : a )4( a + 4 a )3( (a + 4) – a )2( a a + 4 )1( 10 10 . בחרו את הביטויים המייצגים את:8. המספר האחר קטן ממנו ב- x מספר אחד הוא המספר האחר. 8 – x )4( 8 : x )3( x – 8 )2( x 8 )1( . א סכום שני המספרים. (8 – x) + x )4( x + (x – 8) )3( x + (8 – x) )2( (x – 8) + x )1( . ב מכפלת שני המספרים. (x – 8) + x )4( x · (x – 8) )3( x – 8 x )2( (x – 8) · x )1( . ג המנה של המספר הגדול במספר הקטן. x – 8 x )4( x : (8 – x) )3( x : (x – 8) )2( x · (x – 8) )1( . ד היחס בין המספר הקטן למספר הגדול. x – 8 x )4( (x – 8) : x )3( (x – 8) – x )2( (x – 8) · x )1(

-9כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 11 11 . בחרו את הביטויים המייצגים את:8 . המספר האחר גדול ממנו פי y מספר אחד הוא . א המספר האחר. 8 · y )4( y + 8 )3( 8 + y )2( y · 8 )1( . ב סכום שני המספרים. 8 · y + y )4( 8 · y – y )3( y + 8 · y )2( y + 8 + y )1( . ג ההפרש בין המספר הגדול למספר הקטן. y – 8 · y )4( 8 · y – y )3( (y +8) – y )2( (y – 8) – y )1( 12 12 . בחרו את הביטויים המייצגים את:2 . המספר האחר קטן ממנו פי c מספר אחד הוא . א המספר האחר. 2 – c )4( c 2 )3( 2 : c )2( c – 2 )1( . ב סכום שני המספרים. 2 c + c )4( c +c 2 )3( c + (c – 2) )2( (c – 2) · c )1( . ג ההפרש בין המספר הגדול למספר הקטן. c –2 c )4( c 2 – c )3( 2 c – c )2( c – c 2 )1( 13 13 דוגמה פתורה לחמניות במכולת הסמוכה למקום עבודתו. 5 כל בוקר קונה דוד שקלים.4 מחיר כל לחמניה הוא . א ֿ? כמה כסף משלם דוד עבור הלחמניות . ב שקלים.xיום אחד הודיע המוכר כי המחיר של לחמניה אחת עלה ב- הלחמניות?5 כמה כסף צריך לשלם כעת דוד עבור פתרון: . א ,5 · 4 = 20 לחמניות ישלם דוד 5 שקלים, אזי עבור4 אם המחיר של לחמניה אחת הוא שקלים.20 כלומר . ב נציע שתי דרכים לפתרון: דרך א' שקלים.4 + x שקלים, פירושו של דבר שמחירה כעת הואxאם מחיר הלחמניה מתייקר ב- .5 · (4 + x) הלחמניות באמצעות הביטוי5 לכן ניתן לייצג את המחיר של שקלים ואת כל4 + x שימו לב שחובה לרשום סוגריים, מכיוון שמחיר לחמניה אחת הוא הלחמניות.5 כדי לקבל את המחיר של5הביטוי הזה יש לכפול ב- דרך ב' שקלים. המחיר של כל לחמניה התייקר20 הלחמניות לפני ההתייקרות הוא5 המחיר של שקלים.5 · xהלחמניות התייקר ב -5 שקלים, ולכן המחיר שלxב- שקלים.20 + 5 · x הלחמניות לאחר ההתייקרות הוא5 מכאן שהמחיר של

-10כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 14 14 ס"מ. 5 1 2 נתון ריבוע שצלעו . א מהו היקף הריבוע? (הדרכה: תזכורת לגבי ריבוע ראו בנספח א' שבסוף הספר.) . ב חשבו את היקף הריבוע, אם הגדילו כל אחת מצלעותיו ב: ס"מ. 3 1 4 )3( ס"מ. 1 1 2 )2( ס"מ.2 )1( . ג ס"מ? x- מהו היקף הריבוע, אם הגדילו כל אחת מצלעותיו ב 15 15 ס"מ. 4 נתון משולש שווה-צלעות שאורך צלעו . א מהו היקף המשולש? (הדרכה: תזכורת לגבי משולש שווה-צלעות ראו בנספח א' שבסוף הספר.) . ב חשבו את היקפו של המשולש שווה הצלעות, אם הקטינו כל אחת מצלעותיו: ס"מ. 2 3 4 ) ב- 3( ס"מ.1.5) ב- 2( ס"מ.3) ב- 1( . ג ס"מ? m- מה היקפו של המשולש שווה הצלעות, אם הקטינו כל אחת מצלעותיו ב 16 1 6 מגילו של נדב. 4 שנים היה גיל דודו גדול פי 3 . לפני 10 א. נדב בן שנים?3 ) בן כמה היה נדב לפני 1( שנים?3 ) בן כמה היה דודו לפני 2( . ב מהגיל של דני.3 שנים. לפני שנתיים היה גיל אחותו גדול פי x דני בן ) כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את גילו של דני לפני שנתיים. 1( ) כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את גיל האחות לפני שנתיים. 2( . ג מגילה.2 שנים היה גילו של אחיה דוד גדול פי y . לפני8 יעל בת שנים. y כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את גילו של דוד לפני 17 17 חבילות שי. בכל חבילה יש כמות זהה של6 מוכר בחנות ממתקים ארז 5 חפיסות שוקולד. לאחר שסיים את המלאכה התברר לו שנותרו חפיסות שוקולד. . א כמה חפיסות שוקולד שם המוכר בכל חבילה, אם היו לו בתחילה: חפיסות שוקולד?47 )3( חפיסות שוקולד?23 )2( חפיסות שוקולד?17 )1( . ב כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את מספר חפיסות השוקולד שארז המוכר בכל חבילה, אם מספר .n חפיסות השוקולד שהיו לו בתחילה הוא

-11כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 18 18 קמ"ש (כלומר50 ק"מ בין שתי ערים במהירות קבועה של200 א. אוטובוס נוסע בכל יום מרחק של ק"מ).50 האוטובוס עובר בכל שעה קמ"ש ממהירותו הרגילה. כמה זמן תארך10יום אחד נאלץ האוטובוס לנסוע במהירות הקטנה ב- נסיעתו של האוטובוס לאחר הקטנת המהירות? . ב שקלים. בעקבות העלאת המחירים בחודש מסוים1000 מוצרים במחיר b סוחר קונה כל חודש מוצרים פחות.8 נאלץ הסוחר לרכוש באותו סכום כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את המחיר החדש של מוצר אחד. . ג 2 קטעים שווי אורך, אך בפועל חילקו אותו כך שהתקבלו x- ס"מ, ל72 תוכנן לחלק קטע, שאורכו קטעים פחות מאשר בתכנון (כל הקטעים שהתקבלו שווים באורכם). מה אורכו של כל אחד מהקטעים שהתקבלו? 19 19 שקלים.1540 . עלות שכירת האוטובוס לטיול היא1בבית-ספר מסוים תוכנן טיול לכיתה ז- סוכם שכל תלמיד המשתתף בטיול ישלם אותו סכום לכיסוי הוצאות שכירת האוטובוס. תלמידים הביעו את נכונותם לצאת לטיול.20 . א מהו הסכום שעל כל תלמיד לשלם עבור שכירת האוטובוס, אם ביום הטיול התווספו: תלמידים?8 )3( תלמידים?5 )2( תלמידים?2 )1( . ב x כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את הסכום שעל כל תלמיד לשלם, אם ביום הטיול התווספו תלמידים. תזכורת אם תרגיל מורכב מפעולות החיבור ו/או החיסור ומפעולות הכפל ו/או החילוק, מבצעים את פעולות הכפל והחילוק לפני פעולות החיבור והחיסור. דוגמאות א. ב. ג. + = + = + = 7 · 4 5 7 · 4 5 28 5 33 (1) (2) = = = 19 – 3 · 5 19 – 3 · 5 19 –15 4 (1) (2) + = + = + = 6 35 : 7 6 35 : 7 6 5 11 (1) (2)

-12כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 20 20 דניאל ונדב פותרים את אותם התרגילים. בדקו את הפתרון של כל אחד מהם, קבעו מי מביניהם ביצע את החישוב הנכון, ונמקו. התרגיל הפתרון של דניאל הפתרון של נדב א 4 + 3 · 5 + ⋅ = + = 4 3 5 (1) 4 15 (2) 19 + ⋅ = ⋅ = 4 3 (1) 5 7 5 (2) 35 ב 5 · 4 + 2 ⋅ + = ⋅ = 5 4 2 (1) 5 6 (2) 30 ⋅ + = + = 5 4 (1) 2 20 2 (2) 22 ג 20  -  2 · 7 − ⋅ = ⋅ = 20 2 (1) 7 18 7 (2) 126 − ⋅ = − = 20 2 7 (1) 20 14 (2) 6 ד 9 · 2  -  1 ⋅ − = ⋅ = 9 2 1 (1) 9 1 (2) 9 ⋅ − = − = 9 2 (1) 1 18 1 (2) 17 ה 6 + 10 : 2 + = + = 6 10 : 2 (1) 6 5 (2) 11 + = = 6 10 (1) : 2 16 : 2 (2) 8 ו 12 : 4 + 2 + = + = 12 : 4 (1) 2 3 2 (2) 5 + = = 12 : 4 2 (1) 12 : 6 (2) 2 ז 12  -  8 : 4 − = = 12 8 (1) : 4 4 : 4 (2) 1 − = − = 12 8 : 4 (1) 12 2 (2) 10 ח 20 : 5  -  3 − = − = 20 : 5 (1) 3 4 3 (2) 1 − = = 20 : 5 3 (1) 20 : 2 (2) 10 21 21 חשבו תוך הקפדה על סדר פעולות החשבון. א. 2 + 3 · 5 ה. 3 + 10 : 2 ט. 35  -  3 · 5 + 2 ב. 4 · 5 + 2 ו. 21 : 7 + 5 י. 10  -  3 + 2 · 4 ג. 12  -  4 · 2 ז. 18  -  14 : 2 יא. 3 + 2 · 4 · 3 ד. 7 · 4  -  25 ח. 50 : 5  -  9 יב. 15  -  20 : 5 : 2

-13כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 22 22 מטיילים.10 מטיילים. בדרך הצטרפו אליהם שתי קבוצות של מטיילים, ובכל אחת מהן12 לטיול יצאו . א הביעו את מספרם הכולל של המטיילים שהשתתפו בטיול באמצעות מספרים ופעולות החשבון. . ב חשבו כמה מטיילים השתתפו בסך-הכול בטיול. 23 23 שקלים כל מחברת.10 מחברות במחיר6 שקלים. בסכום זה קנה גבי100 לגבי היה שטר של . א הביעו את הסכום שנותר לגבי באמצעות מספרים ופעולות החשבון. . ב חשבו את הסכום שנותר לגבי לאחר הקנייה. 24 24 5 · 4 + 6 : 2 א. שלוש תלמידות - יעל, תמר ומיכל - פתרו את התרגיל הבא: כל אחת מהתלמידות קיבלה תשובה אחרת. התבוננו בפתרונותיהן, קבעו מי הצודקת מביניהן, ונמקו. התלמיד הפתרון יעל ⋅ + = + = = 5 4 (1) 6 : 2 20 6 (2) : 2 26 : 2 (3) 13 תמר ⋅ + = ⋅ = = 5 4 6 (1) : 2 5 10 (2) : 2 50 : 2 (3) 25 מיכל ⋅ + = + = 5 4 (1) 6 : 2 (2) 20 3 (3) 23 . ב חשבו. 2 · 4 + 15 : 3 (3) 7 · 2 + 4 · 5 (1) 28 : 7 - 10 : 5 (4) 3 · 8  -  6 · 3 (2) 25 25 מחברות4שקלים כל אחד, ו- 5 עטים במחיר 2 מיכל קנתה שקלים כל אחת.15 במחיר . א הביעו את הסכום ששילמה מיכל בסך-הכול עבור הקנייה באמצעות מספרים ופעולות החשבון. . ב חשבו את הסכום ששילמה מיכל בסך-הכול.

-14כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 26 26 שקלים, והתשלום עבור שימוש בכל אחד ממתקני המשחקים20 כרטיס כניסה לגן שעשועים עולה שקלים למתקן.5 הוא . א מה סכום הכסף הכולל שהוציא יהונתן בגן השעשועים, אם הוא השתמש ב-: מתקנים?8 )3( מתקנים?5 )2( מתקנים?3 )1( . ב בחרו ביטוי אלגברי שיבטא את סכום הכסף הכולל שהוציא יהונתן בגן השעשועים, אם הוא מתקנים. tהשתמש ב- 20 · t + 5 · t )4( 5 + 20 · t )3( 20 + 5 · t )2( (20 + 5) · t )1( . ג השתמשו בתשובה שקיבלתם בסעיף ב', וחשבו את הסכום שיהונתן הוציא בגן השעשועים, אם: t = 7 )3( t = 6 )2( t = 4 )1( את המספר המתאים.) t (הדרכה: הציבו בביטוי שקיבלתם בסעיף ב' במקום 27 27 שקלים.70 יואב חבר במועדון של רשת מזון גדולה. בכל חודש הוא משלם דמי חבר בסך כחבר מועדון זכאי יואב לקנות במהלך החודש מוצרים באשראי. בסוף כל חודש מחייבת רשת המזון את חשבון הבנק שלו בתשלום עבור דמי החבר, ובנוסף - תשלום עבור מחצית סכום הקניות שביצע במהלך החודש. א. כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את התשלום שתגבה רשת המזון מחשבון הבנק של יואב, אם במהלך שקלים.xהחודש ביצע רכישות ב- ב. מהו הסכום שתגבה רשת המזון מחשבון הבנק של יואב אם: ? x = שקלים 1000 )3( ? x = שקלים 950 )2( ? x = שקלים 500 )1( 28 28 ענת וחברותיה החליטו לקנות במשותף מתנת יום הולדת לחברתן, כשכולן משתתפות שווה בשווה שקלים.125 שקלים, ולענת היה בסך הכול450 בעלות המתנה. מחיר המתנה . א כתבו ביטוי אלגברי, שיבטא את סכום הכסף שיישאר לענת לאחר השתתפותה בקניית המתנה, אם חברות (כולל ענת). y במתנה משתתפות . ב מהו הסכום שיישאר לענת לאחר השתתפותה בקניית המתנה אם: ? y = 9 )3( ? y = 6 )2( ? y = 5 )1(

-15כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 2929 נתונה סדרה של מבנים המורכבים מעיגולים. , , , . . . בחרו את ההיגדים, המנסחיםאת הקשר הקבוע הקיים בסדרה בין כל מבנה לבין המבנה הקודם לו. א. הסבירו את תשובתכם. (( ( 1 ממספר העיגולים במבנה שלפניו'.5 'מספר העיגולים במבנה מסוים, החל במבנה השני, גדול ב - (( ( 2 ממספר העיגולים במבנה שלפניו'.2 'מספר העיגולים במבנה מסוים, החל במבנה השני, גדול פי (( ( 3 'ההפרש בין מספר העיגולים במבנה מסוים לבין מספר העיגולים במבנה הקודם לו הוא ערך החל במבנה השני'.5 קבוע, השווה ל - .'"סדרות בעלות הפרש קבועהערה: לסדרות מסוג זה קוראים ציינו איזה מבנה מבין המבנים הבאים מתאים, לדעתכם, למבנה הרביעי בסדרה. ב. הסבירו את תשובתכם. (3) (2) (1) כמה עיגולים יהיו, לדעתכם, במבנה החמישי? ג. בחרו את התשובה הנכונה והסבירו. 25 )3( 30 )2( 40 )1( עיגולים. 95 במבנה מסוים יש ד. מהו מספר העיגולים במבנים הסמוכים לו? בחרו את התשובה הנכונה והסבירו. 85ו- 90 )3( 90ו- 100 )2( 100ו- 105 )1( השלימו את הטבלה הבאה. ה. המקום של המבנה בסדרה 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 מספר העיגולים במבנה 15 10 5 הסתמכו על הטבלה שהשלמתם, ובחרו את ההיגד המציין את הקשר בין מקום המבנה בסדרה לבין מספר העיגולים שבו. (( ( 1 .5לקבלת מספר העיגולים במבנה יש לכפול את מקום המבנה בסדרה ב- (( ( 2 .5 לקבלת מספר העיגולים במבנה יש לחבר למקום המבנה בסדרה את המספר הסתמכו על הקשר שמצאתם בסעיף ה' וקבעו אילו מההיגדים הבאים נכונים. ו. הסבירו את תשובתכם.

-16כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © (( ( 1 עיגולים. 100 יש 20במבנה הנמצא במקום ה- (( ( 2 עיגולים. 36 יש 31במבנה הנמצא במקום ה- (( ( 3 עיגולים. 250 יש 50במבנה הנמצא במקום ה- (( ( 4 עיגולים. n + 5 יש nבמבנה הנמצא במקום ה- (( ( 5 עיגולים. 5 · nיש nבמבנה הנמצא במקום ה- (( ( 6 עיגולים. n · 5 יש nבמבנה הנמצא במקום ה- עיגולים? הסבירו. 200 באיזה מקום נמצא, לדעתכם, המבנה שבו ז. 1000) במקום ה- 4( 205) במקום ה- 3( 195) במקום ה- 2( 40) במקום ה- 1( 30 30 )1( )2( )3( נתונה סדרה של מבנים המורכבים ממשבצות. מקומו של מבנה בסדרה מצוין מתחתיו. העתיקו את הציור למחברתכם. . א ציירו את המבנה הרביעי בסדרה. . ב כמה משבצות יהיו, לדעתכם, במבנה החמישי? . ג כמה משבצות יהיו, לדעתכם, במבנה השישי? . ד העתיקו את הטבלה הבאה למחברתכם, והשלימו במקומות החסרים משמאל לימין. המקום של המבנה בסדרה 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 מספר המשבצות במבנה 8 6 4 2 . ה מהו הקשר בין מקום המבנה בסדרה לבין מספר המשבצות שבו? בחרו את התשובה הנכונה: ) אין קשר. 1( , מקבלים את מספר המשבצות שבמבנה.3) אם כופלים את מקום המבנה בסדרה ב- 2( , מקבלים את מספר המשבצות שבמבנה.2) אם כופלים את מקום המבנה בסדרה ב- 3( , מקבלים את מספר המשבצות שבמבנה.2 ) אם מחברים למקום המבנה בסדרה את המספר 4( זכרו! ✔✔ למבנים המרכיבים את הסדרה בתרגילים מסוג זה קוראים איברי הסדרה. ✔✔ יש להבדיל בין קשר בין האיברים לבין קשר בין איבר למקומו בסדרה. למשל: 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , ...נתונה הסדרה: . מהאיבר הקודם לו.5הקשר בין האיברים: כל איבר החל באיבר השני גדול ב- את מקומו בסדרה.5הקשר בין איבר למקומו בסדרה: לקבלת איבר בסדרה יש להכפיל ב- 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , ... 5 · 1 , 5 · 2 , 5 · 3 , 5 · 4 , 5 · 5 , ... מקום האיבר בסדרה מסומן בקו תחתון.

-17כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © ו . .20הסתמכו על הקשר שמצאתם בסעיף ה', וקבעו כמה משבצות יהיו במבנה שבמקום ה- . ז העתיקו את הטבלה הבאה למחברתכם והשלימו. המקום של המבנה בסדרה 23 17 67 20 25 13 מספר המשבצות במבנה . ח ?n - כמה משבצות יהיו, לדעתכם, במבנה שבמקום ה בחרו את התשובות הנכונות מבין הביטויים הבאים: n · 2 )4( n 2 )3( 2 · n )2( n + 2 )1( 31 31 נתונה סדרה של מבנים המורכבים ממשבצות. התבוננו בסדרה משמאל לימין. . א כמה משבצות יהיו בשני המבנים הבאים בסדרה? . ב ?10כמה משבצות יהיו במבנה שבמקום ה- . ג העתיקו את הטבלה הבאה למחברתכם, והשלימו במקומות החסרים. המספר הסידורי של המבנה בסדרה 31 6 15 40 8 20 3 2 1 (המקום בסדרה) מספר המשבצות במבנה 9 6 3 . ד נסחו את הקשר בין המקום הסידורי של המבנה בסדרה לבין מספר המשבצות שבו. . ה ?nכמה משבצות יהיו במבנה שבמקום ה- ו . משבצות?30 באיזה מקום נמצא, לדעתכם, המבנה שבו . ז משבצות?75 מהו, לדעתכם, מקומו של המבנה בסדרה שבה . ח העתיקו את הטבלה הבאה למחברתכם, והשלימו במקומות החסרים. המקום של המבנה בסדרה 3 2 1 מספר המשבצות במבנה 66 30 21 90 18 60 9 6 3 . ט נסחו את הקשר בין מספר המשבצות שבמבנה לבין המקום של המבנה בסדרה. י . משבצות? y מהו, לדעתכם, מקומו של המבנה בסדרה שבה .א י משבצות?40 האם בסדרה זו יכול להיות מבנה שבו , . . . , ,

-18כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © 32 32 לפניכם סדרה של קבוצות עיגולים: . א ציירו במחברתכם את המבנה הרביעי שבסדרה. . ב כמה עיגולים יהיו במבנה החמישי שבסדרה? . ג אם ידוע מקום הקבוצה בסדרה, כיצד נמצא את מספר העיגולים בקבוצה? . ד אם ידוע מספר העיגולים בקבוצה, כיצד נמצא את מקום הקבוצה בסדרה? . ה העתיקו את הטבלה הבאה למחברתכם, והשלימו במקומות החסרים. מקום הקבוצה בסדרה 17 22 a n 21 7 מספר העיגולים בקבוצה 44 k 19 b 32 60 33 33 נתונה סדרה של מספרים שבה חוקיות קבועה: 10 , 20 , 30 , 40 ,... . א העתיקו את הטבלה הבאה למחברתכם והשלימו אותה. מקום האיבר בסדרה 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 איבר הסדרה . ב בסדרה. n- מצאו את האיבר שבמקום ה . ג בסדרה?37מהו האיבר שבמקום ה- . ד בסדרה?56מה ערכו של האיבר הנמצא במקום ה- . ה ?80 מה מקומו של האיבר שערכו ו . ?230 מה מקומו של האיבר שערכו 3434 , , , . . . דוגמה פתורה נתונה סדרה של מבנים המורכבים מעיגולים. . א ציירו את האיבר הבא בסדרה. . ב נסחו במילים שלכם את הקשר הקבוע הקיים בסדרה בין כל איבר לבין האיבר הקודם לו (החל באיבר השני). . ג לפניכם סדרת מספרים שנבנתה על-סמך מספר העיגולים המופיעים באיברי הסדרה הנתונה: 4 , 7 , 10 , 13 , ... מצאו את ארבעת האיברים הבאים בסדרה. , , , , . . .

-19כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . ד , המציין מקום של איבר בסדרה זו, והציגו את החוקיות בסדרה זו n השתמשו במשתנה באמצעות ביטוי אלגברי. . ה .n = 35 היעזרו בביטוי שבניתם בסעיף ד' ומצאו את האיבר שבמקום . ו . קבעו את מקום האיבר בסדרה. 3 · 17 + 1 = 52 אחד מאיברי הסדרה פורק באופן הבא: פתרון: . א עיגולים. לכן האיבר הבא 3 אנו רואים שבמעבר מאיבר לאיבר מתווסף "מגדל" אחד ובו הוא: . ב ממספר העיגולים שבמבנה3מספר העיגולים במבנה מסוים, החל במבנה השני גדול ב- שלפניו. . ג .16 ונקבל 13ל- 3 לקבלת האיבר במקום החמישי - נוסיף .19 ונקבל 16ל- 3 לקבלת האיבר במקום השישי - נוסיף .22 ונקבל 19ל- 3 לקבלת האיבר במקום השביעי - נוסיף .25 ונקבל 22ל- 3 לקבלת האיבר במקום השמיני - נוסיף הסדרה תיראה כך: 4, 7, 1 0, 1 3, 1 6, 1 9, 2 2, 2 5 , וזה מספר העיגולים שבמבנה החמישי בסדרה16 שימו לב שהאיבר החמישי בסדרה הוא כפי שציירנו בסעיף א'. . ד שלושה ילדים, משה נדב ויאיר התמודדו עם הבעיה, כל אחד בדרך שונה. לפניכם תהליך החשיבה בפתרון הבעיה של כל אחד מהם. - בהתבוננות במבנים המרכיבים את הסדרה הבחין משה כי: משה מבנה ראשון מורכב "ממגדל" אחד של שלושה עיגולים ועוד עיגול אחד. מבנה שני מורכב משני "מגדלים" של שלושה עיגולים ועוד עיגול אחד. מבנה שלישי מורכב משלושה "מגדלים" של שלושה עיגולים ועוד עיגול אחד. מבנה רביעי מורכב מארבעה "מגדלים" של שלושה עיגולים ועוד עיגול אחד. משה רשם את הפתרון כך: 1 · 3 + 1 , 2 · 3 + 1 , 3 · 3 + 1 , 4 · 3 + 1 +3 +3 +3 +3 האיברים הנוספים 4 , , , 1 · + 2 · + 3 · + 4 · + ↓ ↓ ↓ ↓ , , ,

-20כל הזכויות שמורות - יצחק שלו & אתי עוזרי - מתמטיקה לכיתה ז' - אין לשכפל ללא אישור בכתב מהמחברים © . + n · 3 1 הוא:nלכן משה אמר שמספר העיגולים במבנה שבמקום ה- . + 3 · n 1 משה השתמש בחוק החילוף בכפל ורשם את הביטוי גם בצורה הבאה: משה בדק את נכונות הביטוי לגבי ארבעת האיברים הראשונים של הסדרה המקורית: 3 · 1 + 1 = 4 ← n = 1 האיבר הראשון: 3 · 2 + 1 = 7 ← n = 2 האיבר השני: 3 · 3 + 1 = 10 ← n = 3 האיבר השלישי: 3 · 4 + 1 = 13 ← n = 4 האיבר הרביעי: אנו רואים שמשה אכן קיבל את איברי הסדרה המקורית. .n = 5 , 6 , 7 בדקו את נכונות הביטוי שבנה משה לגבי שלושת האיברים הבאים, כלומר עבור - תחילה סידר נדב את האיברים בתוך הטבלה על מנת לראות את הקשר בין מקום האיבר נדב לאיבר עצמו. מקום האיבר בסדרה 7 6 5 4 3 2 1 האיבר בסדרה 22 19 16 13 10 7 4 נדב לא ראה את הקשר בין מקום האיבר לאיבר עצמו, אך הוא שם לב שאם מכל אחד מהאיברים מתקבלת סדרה מוכרת מאוד.1 מחסרים מקום האיבר בסדרה 7 6 5 4 3 2 1 האיבר בסדרה 22–1 21 19–1 18 16 –1 15 13–1 12 10–1 9 7–1 6 4–1 . לכן אם האיבר נמצא3לקבלת כל איבר בסדרה שהתקבלה צריך לכפול את מקום האיבר ב- .3 · n , אזי האיבר בסדרה זו יהיהnבמקום ה- שחוסר מכל 1 כעת כדי לקבל את איברי הסדרה "המקורית", יש "להחזיר" את המספר . 3 · n + 1 בסדרה המקורית הוא nאחד מאיברי הסדרה המקורית, ולכן האיבר במקום ה- - לשאלה זו ניגש יאיר בדרך שונה. הוא רשם את הפתרון בשלבים. יאיר הסבירו כל אחד משלבי הפתרון. 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , ... הייצוג המקורי הוא: • שלב ראשון: 4 , 4 + 3 , 4 + 3 + 3 , 4 + 3 + 3 + 3 , 4 + 3+3+3+3 ,... • שלב שני: 4 , 4 + 1 · 3 , 4 + 2 · 3 , 4 + 3 · 3 , 4 + 4 · 3 , ... • שלב שלישי: 4 ,4 + (2 – 1) · 3 , 4 + (3 – 1) · 3 ,4 + (4 – 1) · 3 , ... • שלב רביעי: 4 + (n – 1) · 3 הוא:nהאיבר במקום ה- ניתן להציע דרכים נוספות לפתרון סעיף זה. 3

RkJQdWJsaXNoZXIy NDA4MTM=